Betragsungleichung |x-1|<2|x-1|+x

Question

|x-1| < 2*|x-1|+x

Ich habe folgende lösung:

-1<0

4/2>x

-1<0

x>1/2

L = {-unendlich; 1/2}

das richtige ergebnis ist jedoch -unendlich; unendlich

Answer 1

zuerst kann man |x-1| auf beiden Seiten einmal subtrahieren und dann die Gleichung umstellen:

|x -1| < 2*|x-1|+x      | - |x-1|  ,  |  - x   

-x < |x - 1|

Jetzt hat man zwei Fälle, um den Betrag loszuwerden:

Fall1:  x ≤ 1      [ x-1 ≤ 0 ,  |x-1| = -x+1 ]

-x < - x +1

L₁ = ] - ∞  ; 1 ]

Fall2:  x > 1       [ x-1 ≤ 0 ,  |x-1| = x-1 ]

-x < x -1   | + x  | +1

1 < 2x   | : 2

1/2 < x

L₂ = ] 1 ; ∞ [

L = L₁ ∪ L₂ = ℝ

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Man kann die Lösungsmenge auch durch "genaues Hinsehen" erkennen:

-x < |x -1|   für x ≥0  offensichtlich wahr

 Für negative x ist die positive Zahl links immer um 1 kleiner als die Zahl rechts.                 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Im zweiten Fall ist 1/2 < x. Müsste dann nicht L2 ein Intervall von [1/2; ∞[  haben?

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Im 2.Fall lautet die Fallbedingung  x>1, die muss auch beachtet werden

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Geht man nicht normalerweise davon aus, dass der Betrag > bzw. < 0 ist ?

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Term im Betrag ≥ 0 bzw. Term im Betrag < 0

Dabei ist es egal, wo man das Gleichheitszeichen mitnimmt

Answer 2

ABS(x - 1) < 2·ABS(x - 1) + x

Fall X >= 1

x - 1 < 2·(x - 1) + x

x - 1 < 2·x - 2 + x

1 < 2·x

1/2 < x --> x >= 1

Fall x < 1

-(x - 1) < -2·(x - 1) + x

-x + 1 < -2·x + 2 + x

-x + 1 < -x + 2

1 < 2 --> x < 1

Lösung: x ∈ ℝ