Zweistufige Prozesse (Matrizen): Bestimmen Sie, wie viele Endprodukte sich höchstens fertigen lassen

Question

Ein Industriebetrieb fertigt gemäß dem abgebildeten Verflechtungsgraphen aus den Ausgangsprodukten \( A_{1}, A_{2} \) und \( A_{3} \) zunächst die Zwischenprodukte \( Z_{1}, Z_{2} \) sowie \( Z_{3} \) und daraus anschließend die beiden Endprodukte \( E_{1} \) sowie \( E_{2} \).

Stückzahlen der Ausgangsprodukte, der Zwischenprodukte und der Endprodukte sollen jeweils durch einen Spaltenvektor dargestellt werden. Die Verflechtungsmatrix AZ gibt zu jedem Zwischenprodukt die Stückzahlen der für ein Stück erforderlichen Ausgangsprodukte an, die Verflechtungsmatrix ZE entsprechend zu jedem Endprodukt die Stückzahlen der erforderlichen Zwischenprodukte.

a) Geben Sie \( A Z \) und \( Z E \) an.

b) Dem Industriebetrieb liegt eine Bestellung von \( 500 \mathrm{E}_{1} \) und \( 400 \mathrm{E}_{2} \) vor. Berechnen Sie die Stückzahlen der dafür erforderlichen Ausgangsprodukte.

c) Den folgenden Tabellen können für die Ausgangsprodukte und die Zwischenprodukte die dem Betrieb entstehenden Anschaffungskosten bzw. Fertigungskosten pro Stück entnommen werden:

	A1	A2	A3
Anschaffungskosten	2 €	1 €	3 €

	Z1	Z2	Z3
Fertigungskosten	3,5 €	5 €	2 €

Die Kosten für die Fertigung eines Endprodukts \( \mathrm{E}_{1} \) aus den Zwischenprodukten betragen sieben Euro. Ermitteln Sie die Kosten, die dem Betrieb für die Herstellung eines Endprodukts \( \mathrm{E}_{1} \) für Anschaffung und Fertigung insgesamt entstehen.

d) Der Betrieb hat \( 46 Z_{1}, 64 Z_{2} \) und \( 81 Z_{3} \) auf Lager. Bestimmen Sie, wie viele Endprodukte \( \mathrm{E}_{1} \) sich daraus höchstens fertigen lassen.

e) Beschreiben Sie für jede der Matrizen AZ und ZE, wie die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten verändert werden müssen, wenn aus den Ausgangsprodukten ein weiteres Zwischenprodukt \( Z_{4} \) gefertigt wird, das für die Herstellung der Endprodukte verwendet wird.

Answer 1

d) Löse das Gleichungssystem ZE·e = (46 64 81)

Löse das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e_{1}\\ e_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}46\\ 64\\ 81 \end{pmatrix}\)

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus. Dann bekommt man lineares Gleichungssystem wie man es aus der Klasse 8 kennt.

e) Das Gleichungssystem AZ·z=a muss jetzt unter der Bedingung sinnvoll sein, dass z aus vier Zeilen besteht. Das Gleichungssystem, ZE·e = z muss unter der Bedingung sinnvoll sein, dass z aus vier Zeilen. Verwende die Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation um die richtige Zeilen- und Spaltenzahl zu finden, wenn e weiterhin aus zwei Zeilen und a aus drei Zeilen besteht.

Wieviele Zeilen und Spalten muss \(EZ'\) haben, damit \(EZ'\cdot\begin{pmatrix}e_{1}\\ e_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ z_{4} \end{pmatrix}\) Sinn ergibt?

Wieviele Zeilen und Spalten muss \(AZ'\) haben, damit \(AZ'\cdot\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ z_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}\) Sinn ergibt?

Comments

klasse d) habe ich verstanden vielen vielen Dank.

Brauchen wir bei bei EZ' eine Spalte und zwei Zeilen?

Wie viele brauchen wir bei AZ'?

---

Matrixmultiplikation: ℝ^p×q × ℝ^q×r → ℝ^p×r .

Das heißt: man kann eine Matrix aus p Zeilen und q Spalten multiplizieren mit einer Matrix aus q Zeilen und r Spalten und bekommt ein Ergebnis mit p Zeilen und r Spalten.

In deinem Fall ist r=1, weil es sich um eine Matrix-Vektor-Multiplikation handelt (also den Spezialfall, dass zweiter Faktor und Ergebnis nur eine Spalte haben)

> Brauchen wir bei bei EZ' eine Spalte und zwei Zeilen?

Dann wäre p=2 und q=1. Es wird aber mit einem Vektor aus zwei Zeilen multipliziert, also muss q=2 sein.

---

Ist dann e1=23 richtig?

---

Also EZ' = 1 Spalte und 2 Zeilen 
Was ist AZ'?

---

ℝ^p×q × ℝ^q×r → ℝ^p×r

zu EZ': Es muss r=1 sein (wegen Matrix-Vektor-Multiplikation). Außerdem ist q=2, weil es immer noch zwei Endprodukte gibt. Allerdings gibt es 4 Zwischenprodukte. Ergebnis der Matrixmultiplikation muss also 4 Zeilen haben und somit muss p=4 sein.

Demnach muss EZ' vier Zeilen und 2 Spalten  haben.

---

Ist e1= 23 richtig?

Und ist AZ' = 1 Spalte und 4 Zeilen richtig?

---

e₁=23 ist richtig.

Eine Matrix, die nur eine Spalte hat, kann nur mit Matrizen maultipliziert werden, die eine  Zeile haben.