Lösen Sie die Gleichung x2 + 3x = 70 geometrisch nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren. Fertigen Sie bitte für jeden Schritt eine eigene Zeichnung an.
Antwort. Wir stellen zunächst die Gleichung geometrisch dar, indem wir ein Rechteck von
Flächeninhalt 70 zeichnen, das in ein Quadrat der Kantenlänge x (rot) und ein Rechteck
mit Kantenlängen 3 und x (blau) zerlegt ist (erste Zeichnung).
70=7*10 zeichnen, weil das die erste Zerlegung ist, die einem bei 70 einfällt.
x2 + 3x = 70
x(x+3) = 70 = 7*10
Zeichnung1 illustriert 70=x^2 + 3x
Das blaue Rechteck zerlegen wir in zwei Rechtecke mit Kantenlängen 3/2 und x (zweite Zeichnung).
Ich habe bei der 2. Zeichnung gleich die Fortsetzung eingebaut und die Hälfte des blauen Rechtecks unten angehängt. Das grosse rote Quadrat illustriert nun die binomische Formel:
(x+ 3/2)^2 = x^2 + (3/2)x + (3/2)x + (3/2)^2 = x^2 + 3x + (3/2)^2 und ist gleichzeitig 70 + (3/2)^2
Das eine dieser beiden Rechtecke fügen wir unten an das Quadrat an und erhalten ein Quadrat mit Kantenlänge x + 3/2 , aus dem unten rechts ein Quadrat mit Kantenlänge 3/2 ausgeschnitten ist (dritte
Zeichnung). Da der Flächeninhalt der roten und blauen Fläche zusammen 70 beträgt, ergibt sich für den Flächeninhalt des großen Quadrats:
70+ (3/2)2 = ( x + 3/2 )2 wie oben graphisch gezeigt, kann man beim 'quadratischen Ergänzen' immer die Hälfte des Koeffizienten von x benutzen.
Also allgemein:
c= x^2 + px
c + (p/2)^2 = (x+ p/2)^2
b) Jetzt hast du nur noch ein x in der Gleichung und darfst die (hoffentlich) normal nach x auflösen:
70+ (3/2)2 = ( x + 3/2 )2 |√
±√(70 + (3/2)^2) = x + 3/2
-3/2 ±√(70 + (3/2)^2) = x1,2
x1 = -10, x2 = 7