Quadratischen Gleichung geometrisch lösen: x^2+ 3x = 70

Question

a) Stellen Sie die quadratische Gleichung x^2+ 3x = 70 auf die in der Vorlesung behandelte Weise als Fläche dar. Bezeichnen Sie Ihre Zeichnung so, dass das Gemeinte eindeutig klar wird.

b) Lösen Sie die Gleichung aus a) nach der in der Vorlesung behandelten geometrischen Methode. Fertigen Sie für jeden Schritt eine eigene Zeichnung an und erklären Sie die einzelnen Schritte.

Comments

Könntest du eventuell noch beschreiben, was ihr in der Vorlesung behandelt habt?

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Lösen Sie die Gleichung x^2 + 3x = 70 geometrisch nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren. Fertigen Sie bitte für jeden Schritt eine eigene Zeichnung an. 

Antwort. Wir stellen zunächst die Gleichung geometrisch dar, indem wir ein Rechteck von
Flächeninhalt 70 zeichnen, das in ein Quadrat der Kantenlänge x (rot) und ein Rechteck
mit Kantenlängen 3 und x (blau) zerlegt ist (erste Zeichnung).

Das blaue Rechteck zerlegen
wir in zwei Rechtecke mit Kantenlängen 3/2 und x (zweite Zeichnung). Das eine dieser beiden 
Rechtecke fügen wir unten an das Quadrat an und erhalten ein Quadrat mit Kantenlänge x + 3/2 , aus dem unten rechts ein Quadrat mit Kantenlänge 3/2 ausgeschnitten ist (dritte
Zeichnung). Da der Flächeninhalt der roten und blauen Fläche zusammen 70 beträgt, ergibt sich für den Flächeninhalt des großen Quadrats:

 

70+ (3/2)^2 = ( x + 3/2 )^2

 

usw.

 

Das war eine Musterlösung in Textform.

Vielleicht hilft es weiter.

Würde mich freuen

 

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Ist denn denn nicht "offensichtlich", dass x=7 ist?

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Doch.aber man soll es geometrisch zeigen

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@Anonym: Lösen Sie die Gleichung x² + 3x = 70 geometrisch nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren. Fertigen Sie bitte für jeden Schritt eine eigene Zeichnung an. 

Antwort. Wir stellen zunächst die Gleichung geometrisch dar, indem wir ein Rechteck von 
Flächeninhalt 70 zeichnen, das in ein Quadrat der Kantenlänge x (rot) und ein Rechteck 
mit Kantenlängen 3 und x (blau) zerlegt ist (erste Zeichnung).

70=7*10 zeichnen, weil das die erste Zerlegung ist, die einem bei 70 einfällt. 

x^2 + 3x = 70

x(x+3) = 70 = 7*10

Das blaue Rechteck zerlegen wir in zwei Rechtecke mit Kantenlängen 3/2 und x (zweite Zeichnung).

Das eine dieser beiden Rechtecke fügen wir unten an das Quadrat an und erhalten ein Quadrat mit Kantenlänge x + 3/2 , aus dem unten rechts ein Quadrat mit Kantenlänge 3/2 ausgeschnitten ist (dritte 
Zeichnung). Da der Flächeninhalt der roten und blauen Fläche zusammen 70 beträgt, ergibt sich für den Flächeninhalt des großen Quadrats:

 

70+ (3/2)² = ( x + 3/2 )²

Answer 1

Lösen Sie die Gleichung x² + 3x = 70 geometrisch nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren. Fertigen Sie bitte für jeden Schritt eine eigene Zeichnung an. 

Antwort. Wir stellen zunächst die Gleichung geometrisch dar, indem wir ein Rechteck von  
Flächeninhalt 70 zeichnen, das in ein Quadrat der Kantenlänge x (rot) und ein Rechteck  
mit Kantenlängen 3 und x (blau) zerlegt ist (erste Zeichnung).

70=7*10 zeichnen, weil das die erste Zerlegung ist, die einem bei 70 einfällt. 

x² + 3x = 70

x(x+3) = 70 = 7*10

Zeichnung1 illustriert 70=x^2 + 3x

Das blaue Rechteck zerlegen wir in zwei Rechtecke mit Kantenlängen 3/2 und x (zweite Zeichnung).

Ich habe bei der 2. Zeichnung gleich die Fortsetzung eingebaut und die Hälfte des blauen Rechtecks unten angehängt. Das grosse rote Quadrat illustriert nun die binomische Formel:

(x+ 3/2)^2 = x^2 + (3/2)x + (3/2)x + (3/2)^2 = x^2 + 3x + (3/2)^2 und ist gleichzeitig 70 + (3/2)^2

Das eine dieser beiden Rechtecke fügen wir unten an das Quadrat an und erhalten ein Quadrat mit Kantenlänge x + 3/2 , aus dem unten rechts ein Quadrat mit Kantenlänge 3/2 ausgeschnitten ist (dritte  
Zeichnung). Da der Flächeninhalt der roten und blauen Fläche zusammen 70 beträgt, ergibt sich für den Flächeninhalt des großen Quadrats:

70+ (3/2)² = ( x + 3/2 )² wie oben graphisch gezeigt, kann man beim 'quadratischen Ergänzen' immer die Hälfte des Koeffizienten von x benutzen.

Also allgemein:

c= x^2 + px 

c + (p/2)^2 = (x+ p/2)^2

 

b) Jetzt hast du nur noch ein x in der Gleichung und darfst die (hoffentlich) normal nach x auflösen:

70+ (3/2)² = ( x + 3/2 )²       |√

±√(70 + (3/2)^2) = x + 3/2

-3/2 ±√(70 + (3/2)^2) = x_1,2

x₁ = -10, x₂ = 7