Näherungswert e^{-x^2}

Question

 Ich soll für das Integral e^{-x^2} in den Grenzen (1,-1) ein Näherungswert mittels der Taylorreihe aufstellen. So weit so gut, ich habe bis n= 6 entwickelt und erhalte t6(x)= 1+x^2 +(1/2)x^4 -(1/6)x^6. f(1) = 2,71.., t6(1) =2,33...  Wie löse ich nun die zweite Frage: Wieviele Terme im Taylorpolynom müssen Sie berücksichtigen, damit der genäherte Wert auf zwei Stellen hinter dem Komma mit dem (genaueren) Wert I = 1.4936... übereinstimmt?  Da wenn ich mein Taylorpolynom weiterentwickle, ich auf einen immer höheren Wert bis zur Zahl e^{-x^2} komme. Ich muss aber zum Wert 1.49... kommen, wie komme ich dahin? MFG

Answer 1

deine Taylor Entwicklung ist fehlerhaft. Alle Ableitungen zu bestimmen ist hier ziemlich aufwendig.

Nutze als Ansatz die Taylor Reihe von e^z:

e^z=1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24+...

Setze z=-x^2

e^{-x^2}≈1-x^2+x^4/2-x^6/6+x^8/24=Tf(x)

Dies ist auch genau genug, um das Integral auf 2 Stellen genau zu berechnen:

Integral -1 to 1 Tf(x)dx≈1.495

(letzte Stelle wurde gerundet)

Answer 2

Lösungsweg 2:

Wer viele Funktionen kennt, sieht sofort  https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion

Lösung sqrt(Pi)*erf(1)

kann jeder gute Rechner wie:

Dort sieht man auch die Reihendarstellung und sqrt(Pi) kürzt sich raus, also:

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=0;a=1;@Na=2*@P-1,i)/Fak(i)/(2*i+1);@Bi+1]=@Bi]+a;@N@Aa)%3C1e-3@N0@N0@N#

Index 0 ist nur der Summenstartwert und wenn man 1.4857 auf 2 Nachkommastellen aufrundet,

reicht die Zeile Index 4, was 4 Terme entspricht.