Ableitung einer Exponentialfunktion. f(x) = x^2 e^{-x²}

Question

Da brauch ich die 1. und 2. Ableitung...aber steh leider total an damit.

y = f(x) = x²e^-x²

Vielen Dank für eure Antworten.

Comments

Ist dir bekannt, dass du bei WA die Resultate automatisch haben kannst?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+e%5E(-x%C2%B2)

Erste Ableitung:

Nun das Resultat nochmals oben eingeben und ableiten lassen.

---

Nein, die Anwendung hab ich nicht gekannt. Mir war aber leider der Lösungsweg vollkommen schleierhaft. Hab meine Versuche mit dem TI-89 versucht zu verifizieren, was leider zig Mal nicht geklappt hat.

Answer 1

f(x) =  x^2 * e^{-x²}                   | Produktregel und Kettenregel

f ' (x) = 2x * e^{-x^2}  +x^2 * e^{-x^2} * (-2x)

= ( 2x - 2x^3)*e^{-x^2}

f '' (x) = (2 - 6x^2) * e^{-x^2} + (2x - 2x^3)* e^{-x^2} * (-2x)

= ( 2 - 6x^2 - 4x^2 + 4x^4) e^{-x^2}         | Bitte selber nachrechnen.

= ( 2 - 10x^2 + 4x^4) e^{-x^2}         | Bitte selber nachrechnen. 

Comments

Wusste nicht wie ich e^{-x^2} hätte ableiten sollen. Das kommt also abgeleitet wie eine "normale" Potenz einfach "runter" (-2x)...aufgrund welcher Regel ist das so?

---

Steht doch da: Kettenregel.

---

Mister. So kann der Fragestelle das schon mal googeln.

Kettenregel ausführlich

g(x) = e^{-x^2}

  Innere Funktion u(x) = -x^2,  u'(x) = -2x

äussere Funktion g(u) = e^{u} , g'(u) = e^{u}

Nun die Rechnung (Zwischenschritte mit u und x gemischt lässt man besser weg):

g'(x)  = g ' (u) * u' = e^{u} * (-2x) = e^{-x^2} * (-2x)

Formel.

g'(x)  = g ' (u) * u' 

Kannst du dir auch mit Brüchen (Differentialquotienten) merken:

g'(x) = dg/dx        | erweitern mit du

= (dg * du)/(du *dx)      | Bruchmult. draus machen

= dg/du * du/dx   | zurück zur Ableitungsschreibweise

= g ' (u) * u'

Achtung: Man muss ziemlich genau wissen, wenn man mit diesen d rechnen kann und wann nicht. Bei der Kettenregel geht das gut.

Answer 2

f ' ( x) =  2x*e^{-x²  +}  x²e^-x²*-2x  =  2x*e^-x²  - 2x³e^-x²