Lagrange multiplikator verwendung

Question

Folgende Aufgabe bereitet mir etwas Schwierigkeiten:

Ein Teilchen bewegt sich entlang der Bahnkurve (x(t),y(t))=(t^2,1/t) , t>0 von Unendlichen herkommend von oben auf die x Achse zu (und rast entlang der x Achse nach rechts davon) Zu welchem Zeitpunkt t>0 ist der Abstand vom Nullpunkt(0,0) minimal? Mann soll die Aufgabe explizit mit Lagrange lösen!

Ich dacht ich könnte einfach den Betrag eines Vektors sqrt(x^2+y^2) als Zielfunktion nehmen und die Bahnkurve als 2 Nebenbedienungen definieren aber dabei komme ich nur auf das negative Ergebnis -1. Ich vermute mal das meine Zielfunktion so nicht funktioniert.

Kann mir da jemand helfen bzw. einen Tipp geben?

Edit(Yakyu): Entsprechend Kommentar angepasst und fehlenden Exponenten ergänzt.

Comments

Warum lautet es einmal in deiner Aufgabe t < 0 und einmal t > 0 ??

Die Bahnkurve ist [x(t), y(t)] = [t^2, 1/t] mit t < 0

Abstand zum Ursprung wäre

d^2 = (t^2)^2 + (1/t)^2 = t^4 + 1/t^2

d^2 ' = 4·t^3 - 2/t^3 = 0 --> t = - 2^{5/6}/2 = -0.8908987181 ; Die andere Lösung nicht im Definitionsbereich.

Das wäre jetzt aber auch ohne Lagrange.

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t ist natürlich bei beiden größer 0! Ja ob ich zuerst t einsetze oder erst x,y berechne und daraus t kommt auf das selbe raus! Ich komm nur leider nicht mir Lagrange auf die richtige Lösung

Answer 1

die zu minimierende Funktion hast du ja schon.

Eine passende Nebenbedingung wäre: \( x = \frac{1}{y^2} \). Diese leitet sich direkt aus der Definition der Bahnkurve her.

Gruß

Comments

Hallo....

Du meinst also das Ich dann die Zielfunktion Sqrt(x^2+y^2) habe und die Nebenfunktion x-(1/y^2) mal λ? Dann komme ich nämlich für x auf das Ergebnis (1/4)^1/3 und y = 1/2*x....Wenn ich jetzt t berechne kann ich mir das aus einer der beiden Gleichungen x=t^2 oder y=1/t machen und es müsste bei beiden das selbe raus kommen oder? Tut es nämlich nicht!

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Du hast dich verrechnet. Richtig wäre

$$ x = 2^{-\frac {1}{3}}$$

$$ y = 2^{\frac {1}{6}} $$

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Ahh ok perfekt dann kommt ja auch für beide x,y Werte der selbe t wert raus.

Danke für die Hilfe!