Eingeschlossene Fläche ist 4.5. Wie bestimme ich den Wert des Parameters a?

Question

Ich weiß nicht wie ich den Parameter a bei Aufgabe b) bestimmen soll. Ich weiß, dass ich die beiden Gunkzionen gleichsetzten muss, allerdings habe ich dann Probleme die Nullstellen zu berechnen.

Vielen Dank für Antworten.

Answer 1

Hallo Astrid,  wappne dich mit Geduld  :-):

gehen wir mal von den beiden Schnittstellen x₁ = a  und x₂ = -2a  aus, die nn berechnet hat.

[ wenn du den Satz von Vieta nicht kennst, kannst du die Lösungen von x² +ax -2a² = 0 auch mit der  pq-Formel ausrechnen:

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = a ; q = -2a²

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

x_1,2 = - a/2 ± \(\sqrt{a^2/4 + 2a^2}\) =  - a/2 ± \(\sqrt{9/4·a^2}\) = - a/2 ± 3a/2 

→  x₁ = a ;  x₂ = -2a  ]

Der eingeschlossene Flächeninhalt A ist dann

A  =  | _-2a∫^a (g(x) - f(x) ) dx |  = | _-2a∫^a ( -ax + 2a² - x² ) dx |

=  | [ -1/2·a·x² + 2a²·x - 1/3·x³ ]_-2a^a    [ Stammfunktionsterm   von  -ax + 2a² - x² ]

Jetzt musst du für x zuerst a und dann -2a einsetzen und die Terme dann subtrahieren:

= | -1/2·a·a² + 2a²·a - 1/3·a³ - (  -1/2·a·(-2a)² + 2a²·(-2a) - 1/3·(-2a)³ ) |  

= |  -1/2·a³ + 2a³ - 1/3·a³ - ( - 2a³ - 4a³ + 8/3·a³) |  =  | 7/6·a³ - (-10 /3·a³ |  =  | 9/2·a³ |  

Es soll A = 4,5 sein:

| 9/2·a³ |  = 4,5   →  a³ = ± 4,5 · 2/9  = ± 1   →  a = ± 1

Mit a=1 ist f(x) = -x + 2   und   g(x) = x²

Gruß Wolfgang

Answer 2

\(f(x)=g(x)\)
\(x^2=-ax+2a^2\)
\(x^2+ax-2a^2=0.\)
Man erkennt leicht, dass \(x_1=a\) eine Lösung ist. Nach Vieta ist \(x_2=-2a\).

Unknown: Als Antwort umgewandelt.

Answer 3

\(f(x)=x^2\)  und  \(g(x)=-ax+2a^2\)   mit  \(a>0\)

Die eingeschlossene Fläche soll \(A=4,5\) FE sein.

Schnittstellen von \(f\)  und \(g\) :

\(x^2=-ax+2a^2 |+a x\) 

\(x^2 +ax=2a^2 \)  quadratische Ergänzung

\(x^2 +ax+\red{(\frac{a}{2})^2}=2a^2+ \red{(\frac{a}{2})^2}=2a^2+\frac{1}{4}a^2\)   1.Binom:

\((x +\red{(\frac{a}{2})})^2=\frac{9}{4}a^2| ±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+\frac{a}{2}= \frac{3}{2}a \)

\(x=- \frac{a}{2}+\frac{3}{2}a \)

\(x_1=a \)

2.)

\(x+\frac{a}{2}= -\frac{3}{2}a \)

\(x=-\frac{a}{2} -\frac{3}{2}a \)

\(x_2=-2a \)

Da  \(a>0\) gilt, ist die obere Grenze  \(x_1=a \) und  \(x_2=-2a \)  die untere Grenze.

Differenzfunktion:

\(d(x)=g(x)-f(x)\)

\(d(x)=-ax+2a^2-x^2\)

Berechnung von \(a\)

\(4,5= \int\limits_{-2a}^{a}(-ax+2a^2-x^2)dx=[-\frac{a}{2}x^2+ 2a^2x-\frac{1}{3}x^3  ]_{-2a}^{a}\\=[-\frac{1}{2}a^3+ 2a^3-\frac{1}{3}a^3  ]-[- 2a^3-4a^3+\frac{8}{3}a^3 ]\\=4,5a^3\)

\(a^3=1\)

\(a=1\)

\(g(x)=-x+2\)               \(f(x)=x^2\)

Comments

Was rechtfertigt hier eine weitere Antwort? Die quadratische Ergänzung würde als Kommentar reichen.
Was danach kommt, steht in der Antwort von -Wolfgang- auch, insb. ist es da richtig. Im Gegensatz zu dieser unvollständigen Berechnung (vgl Antwort von Wolfgang). Einfach abschreiben, dann klappt's auch.

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...insb. ist es da richtig. Im Gegensatz zu dieser unvollständigen Berechnung (vgl Antwort von Wolfgang).

Das Gegenteil von richtig ist falsch.

Dann schau dir mal genau an: https://www.mathelounge.de/219574/anwendung-der-integralrechnung-und-schliessen-flache-ein

Da gibt es 3 verschiedene Antworten.

Irgendwie auffällig in Bezug zu meiner Antwort.

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nudger, du hast es sicherlich schon bemerkt: Moliets kramt massenweise uralte Aufgaben hervor zu denen er meint, eine bessere Antwort zu haben. Sinn dieser Übung ist allein die Jagd nach Punkten.

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@Roland Ja, es gibt vermutlich weitere Motive, wie Langeweile (bei mehr als einem Antworter).

@Moliets Was soll Dein Kommentar? Du gehst auf die inhaltliche Kritik nicht ein (die sogar konstruktiv ist).

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Roland: Man sollte in einem Mathematikforum auf die logische Qualität seiner Ausführungen achten, daher folgende Kritik: Für mich sind mehrere Motive für M's Beitragsflut denkbar. Dein "allein die Jagd" halte ich für unbegründet. Oder bist Du ein als Mathematiker verkleideter Psycho-Tausendsassa mit ans Wunderbare grenzender Diagnosefähigleit?

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Langeweile ist tatsächlich mein ;Motiv, hier Aufgaben einzustellen. Wenn Langeweile Moliets Motiv wäre, könnte er ja meine Aufgaben lösen. Tut er aber selten.

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@Mathhilf Sehe ich auch so. Persönlichkeitsanalysen stehen uns nicht an (ggT22 war da ja ein Experte), dazu ist die Basis von Postings hier zu dünn (abgesehen von mangelnder eigener Kompetenz in dem Bereich).

@Roland Deine Offenheit ist respektabel. Da M (wie wohl alle hier) gemischte Motive hat hier mitzuwirken, kann man über solche Überlegungen aber nicht einzelne Motive ausschließen.

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Wenn er versucht, sich bei neuen Aufgaben zu äußern, blamiert sich der ‚Top 20 Mathematiker‘ nur und stiftet Verwirrung, wie die aktuellen Beispiele zeigen.

Also laßt ihn doch die uralten Aufgaben heraussuchen, die er mit seinen wenigen Tricks auf die immer gleiche Art und Weise lösen kann.

Es interessiert doch niemanden, was er da treibt, auch wenn es fehlerhaft oder unvollständig oder im besten Fall nur anders formuliert ist.

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1 Markierung:
Spam (nudger “off topic”)

Nudger, das ist schon sehr schwach! Ich habe mir mehr als Kommentar von dir erwartet! Du gehst da ja gar nicht darauf ein und wirfst mir vor, ich ginge auf inhaltliche Kritik nicht ein. Mein Eingehen ist eben der Link!

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Was ist der Zusammenhang der verlinkten Seite mit meinem Kommentar und Deiner konkreten Rechnung hier? Nicht wieder Nebelkerzen werfen und abschweifen, sondern konkret.

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Es sind dort Wege, die wie meiner zum Ziel führen. Mich hat geärgert , dass du meinen Weg als falsch deklariert hast.

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Ich hatte Dich um eine konkrete Aussage gebeten, aber nicht unerwartet kommt die nicht. Deine Lösung ist unvollständig und damit falsch - es fehlt ein wesentlicher Teil. Ob Du Dich ärgerst, wenn Du solche "Lösungen" hier einstellst, ist mir egal. Wenn Du es tust, musst Du mit der Reaktion leben.

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Wäre es als Moderator dann nicht auch deine "Aufgabe", dieses von dir verlinkte Duplikat einfach zusammenzuführen bzw. zu schließen, anstatt noch eine weitere, in meinen Augen unnötige, Antwort zu liefern.

Aber von der Moderation ist hier sowieso nicht viel zu halten.

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Deine Lösung ist unvollständig und damit falsch - es fehlt ein wesentlicher Teil.

Nun sag doch endlich, wo sie unvollständig ist!

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Du hast oben anscheinend nicht alles gelesen. Ich lese es Dir nochmal vor:

"Im Gegensatz zu dieser unvollständigen Berechnung (vgl Antwort von Wolfgang). Einfach abschreiben, dann klappt's auch."

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Wolfgang hat Betragsstriche dabei. Mir erschließt sich nicht warum. Im verlinkten Beitrag geht es ja auch ohne diese. Warum ist es im "Link" alles vollständig und bei mir nicht?

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Lies dazu in Büchern/Internet oder sonstwo nach. Wenn Du es nicht verstehst, solltest Du zurückhaltender mit Deinen Antworten und Reaktionen darauf sein. Antworten anderer hier im Forum als Referenz zu nehmen ist riskant, wenn man sich nicht auskennt. Auf der verlinkten Seite ist auch eine Lösung (der drei) unvollständig.