Eingeschlossene Fläche ist 4.5. Wie bestimme ich den Wert des Parameters a?

Question

Ich weiß nicht wie ich den Parameter a bei Aufgabe b) bestimmen soll. Ich weiß, dass ich die beiden Gunkzionen gleichsetzten muss, allerdings habe ich dann Probleme die Nullstellen zu berechnen.

Vielen Dank für Antworten.

Answer 1

Hallo Astrid,  wappne dich mit Geduld  :-):

gehen wir mal von den beiden Schnittstellen x₁ = a  und x₂ = -2a  aus, die nn berechnet hat.

[ wenn du den Satz von Vieta nicht kennst, kannst du die Lösungen von x² +ax -2a² = 0 auch mit der  pq-Formel ausrechnen:

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = a ; q = -2a²

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

x_1,2 = - a/2 ± \(\sqrt{a^2/4 + 2a^2}\) =  - a/2 ± \(\sqrt{9/4·a^2}\) = - a/2 ± 3a/2 

→  x₁ = a ;  x₂ = -2a  ]

Der eingeschlossene Flächeninhalt A ist dann

A  =  | _-2a∫^a (g(x) - f(x) ) dx |  = | _-2a∫^a ( -ax + 2a² - x² ) dx |

=  | [ -1/2·a·x² + 2a²·x - 1/3·x³ ]_-2a^a    [ Stammfunktionsterm   von  -ax + 2a² - x² ]

Jetzt musst du für x zuerst a und dann -2a einsetzen und die Terme dann subtrahieren:

= | -1/2·a·a² + 2a²·a - 1/3·a³ - (  -1/2·a·(-2a)² + 2a²·(-2a) - 1/3·(-2a)³ ) |  

= |  -1/2·a³ + 2a³ - 1/3·a³ - ( - 2a³ - 4a³ + 8/3·a³) |  =  | 7/6·a³ - (-10 /3·a³ |  =  | 9/2·a³ |  

Es soll A = 4,5 sein:

| 9/2·a³ |  = 4,5   →  a³ = ± 4,5 · 2/9  = ± 1   →  a = ± 1

Mit a=1 ist f(x) = -x + 2   und   g(x) = x²

Gruß Wolfgang

Answer 2

\(f(x)=g(x)\)
\(x^2=-ax+2a^2\)
\(x^2+ax-2a^2=0.\)
Man erkennt leicht, dass \(x_1=a\) eine Lösung ist. Nach Vieta ist \(x_2=-2a\).

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