Bestätigen Sie, dass b(t) < 10 gilt.

Question

$$ B:\quad [0,\infty )\quad \rightarrow \quad Reelle\quad Zahlen\quad \qquad B(t)=\frac { 10 }{ 1+3{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } t } } \\ \\ Bestätigen\quad Sie\quad das,\quad B(t)\quad <\quad 10\quad für\quad jedes\quad t\quad aus\quad dem\quad Definitionsberich\quad von\quad B\quad gilt.\\  $$

Ich verstehen warum B(t)<10 gilt. Die Gleichung nähert sich ja 10 /1

erreicht diese aber nicht  da  $$\ 3{ e }^{- \frac { 1 }{ 2 } t }$$

nie die Null erreicht.

Meine Frage wie Beweist man jetzt Mathematisch das B(t) <10 gilt?

Durch eine Ungleichung ?

Answer 1

10/(1 + 3·EXP(- 0.5·t))

Es gilt EXP(- 0.5·t) > 0 und damit

(1 + 3·EXP(- 0.5·t)) > 1 und damit

10/(1 + 3·EXP(- 0.5·t)) < 10

Comments

Du konntest auch zeigen, dass die Funktion streng monoton steigend ist und den Grenzwert für x --> unendlich ermitteln.

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Vielen Dank geht doch so simpel

Answer 2

Je kleiner der Nenner, desto größer der Bruch, jedenfalls, wenn beide positiv sind. Nun kann der Nenner aber hier nicht kleiner als 1 werden, so dass der gesamte Bruch nicht größer als 10 werden kann. Da der Nenner aber sicher immer größer als 1 bleiben wird, muss der Bruch auch immer kleiner  als 10 bleiben.

(Das kannst du nach Belieben auch etwas kürzer, vielleicht durch eine Abschätzung in Form einer Ungleichung, notieren.)