Ableiten mal mit Produktregel, mal duch vorheriges ausmultiplizieren

Question

Ich habe die Funktion $$ f(x) = \frac { 1-4x² }{ x² } $$ Nun soll ich diese ableiten, einmal mit der Produktregel, und einmal durch umschreiben und ausmultiplizieren.

Nun habe ich zuerst umgeschrieben in: f(x)=(1-4x²)*x^-²

Und dann bekomme ich zwei verschiedene Ableitungen raus...kann mir bitte jemand helfen, meinen Fehler zu finden?

1) Produktregel:

f'(x) = -8x*x^-2 + (1-4x²)*(-2x^-3) = $$ \frac {  -8}{  x} + \frac {1-4x²  }{-2x³  } $$ (erweitern mit -2x² auf HN) ergibt dann = (16x²+1-4x²)/(-2x³) =  (12x²+1)/(-2x³)

2) Ausmultiplizieren und ableiten:

f(x)=(1-4x²)*x^-²= x^-²-4

f'(x) = -2x^-3

Und das ist nicht die gleiche Ableitung, obwohl ja eigentlich das gleiche rauskommen sollte...kann mir bitte jemand helfen, den Fehler zu finden?

Answer 1

Die -2 von (-2x^-3) gehört nicht in den Nenner, sondern in den Zähler.

Comments

*Kopf gegen Wand*...ja, klar...!!

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...

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Dann ergibt sich bei der Produktregel

-8/x + (1 - 4x^2)(-2/x^3)

-8/x + (-2 + 8x^2)/x^3

Jetzt erweitern mit x^2

-8x^2/x^3 + (-2 + 8x^2)/x^3

(-8x^2 -2 +8x^2)/x^3 = -2/x^3

Answer 2

Hallo. Hier mal eine andere Möglichkeit, die Produktregel einzusetzen:

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac { 1-4x^2 }{ x^2 } \\\,\\&= \left( \frac { 1 } {x } \right)^2 - 2^2 \\\,\\&= \left( \frac { 1 } {x } + 2 \right) \cdot \left( \frac { 1 } {x } - 2 \right).\end{aligned} $$
 
$$ \begin{aligned} f'(x) &= -\frac { 1 } {x^2 } \cdot \left( \frac { 1 } {x } + 2 \right) -\frac { 1 } {x^2 } \cdot \left( \frac { 1 } {x } - 2 \right) \\\,\\ &= -\frac { 1 } {x^2 } \cdot \frac { 2 } { x } \\\,\\ &= -\frac { 2 } {x^3 }. \end{aligned} $$

Comments

Hallo Gast az0815,

also du formst in die 3. Binomische um, dann diese in ihre Produktform und leitest dann ab....ok, ja kann ich nachvollziehen.

Aber warum sollte man das so rechnen (also außer zum Spaß an der Freude), hat das einen weiteren Sinn? ich mache mir das Leben damit ja eigentlich nur unnötig schwer, dann hab ich nämlich erst die Umformung in die 3. Binomische und dann einen Term, bei dem ich 2x die Produkregel anwenden muss...

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Hi, schön, dass du meine Rechnung angeschaut hast! Ich habe die Produktregel nur einmal angewendet und danach zusammengefasst. Aufgeschrieben habe ich diesen Rechenweg, weil er eben möglich ist und ich finde ihn durchaus einfach, auch im Vergleich zu dem anderen hier beschriebenen Weg. Denn so viele Rechenschritte sind es doch gar nicht oder?

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ja, stimmt nur eine Produktregel, da hat du recht :-)

Und so viele Rechenschritte sind es wirklich nicht, aber auf die Idee, hier mit der Binomischen zu arbeiten wäre ich nie gekommen. Wenn ich das auseianderziehe in f(x) = (1/x)²-4, schreibe ich um in f(x) = 1*x^-2-4 und leite das ab ;-)

Ich muss sagen, ich finde die Binomische hier eine sehr elegante Lösung, wäre aber nie drauf gekommen. Also danke fürs zeigen :-)