A endliche Menge. Funktion f: A -> A surjektiv, injektiv, bijektiv. Äquivalenz zeigen...

Question

ich verstehe meine Mathe Übgung nicht: 

Sei A eine endliche Menge und F : A -> A eine Funktion

Für alle a ∈ A sei F₀(a) := a und f_i(a) := f(f_i-1(a)) für i∈Ν. zeigen Sie,dass folgende Aussage äquivalent sind:

(a) f ist injektiv

(b) f ist surjektiv

(c) Es gibt ein i∈N mit f_i=f₀

welche der sechs Implikationen gelten auch, wenn A unendlich ist?

was ist die sechs Implikationen und wie zeige ich es?

Comments

was ist die sechs Implikationen?

a ==> b

b ==> a

a ==> c

c ==> a

b ==> c

c ==> b

 und wie zeige ich es?

Es genügt, wenn du im Kreis rum beweist. D.h. z.B. 

a ==> b, b ==> c und c ==> a. 

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ich habe fast die gleiche frage und würde gern wissen:

f₀ (a) = a wäre ja schon mal bijektiv  und f_i ist zu untersuchen?

f(f_{i - 1}(a)) = f(f₀(a)) = f(a)  

f_{i - 1}(a) = f₀(a) = a

f_{i -1} = f₀

i-1 = 0 → i = 1

Ist das so gemeint, wenn die Initialisierung mit f₀ beginnt, dann ist

f₁ (a) = f(f₀(a)) = f(a) ↔ f₁ = f (a)

f₂ (a) = f(f₁(a)) = f(f(a))  ↔  f₂ = (f ° f) (a)

f₃ (a) = f(f₂(a)) = f(f(f(a)))  ↔  f₃ = ((f ° f)° f ) (a)   usw....   ??

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Gut, dass du nachfragst.

Sollen das alles kleine f mit und ohne Index  sein (?)

" Sei A eine endliche Menge und f : A -> A eine Funktion

Für alle a ∈ A sei f₀(a) := a und f_i(a) := f(f_i-1(a)) für i∈Ν. " 

? 

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Ist das so gemeint, wenn die Initialisierung mit f₀ beginnt, dann ist

f₁ (a) = f(f₀(a)) = f(a) ↔ f₁ = f (a)

f₂ (a) = f(f₁(a)) = f(f(a))  ↔  f₂ = (f ° f) (a)

f₃ (a) = f(f₂(a)) = f(f(f(a)))  ↔  f₃ = ((f ° f)° f ) (a)   usw....   ?? 

Richtig.

und irgendwann kommt gemäss c) wieder die konstante Funktion vor, wenn die Funktion f injektiv oder surjektiv war.

Der Unterschied zu https://www.mathelounge.de/383990/wenn-g-o-f-surjektiv-injektiv-ist-dann-ist-f-g ist wohl, dass bei dir die Grundmenge nicht endlich ist. - Oder überlese ich dort etwas? Du hast dort auch nicht einfach A -> A -> A....

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ich beschäftige mich zurzeit mit der gleichen Aufgabe wie der Fragesteller und weiß nun, dass es genügt (a)=>(b), (b)=>(c), (c)=>(a) zu zeigen.

Allerdings stehe ich dabei vollkommen auf dem Schlauch, wie ich das angehen sollte und es wäre toll, wenn mir dabei irgendwer helfen könnte :/

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Vom Duplikat:

Titel: Abbildung Injektiv und Surjektiv. X eine endliche, nicht leere Menge. Gegeben ist f: X-> X.

Stichworte: endliche,menge,surjektiv,injektiv,abbildung,bijektiv

ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch und finde den Ansatz des Beweises nicht.

Aber erstmal die Aufgabe: Sei X eine endliche, sowie nicht leere Menge. Gegeben sei die Abbildung f: X-> X. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

f ist injektiv , f ist surjektiv, f ist bijektiv.

Mit ist klar, dass folgendes zeigen muss:

Aus f ist injektiv folgt f ist surjektiv, genauso wie aus f ist surjektiv folgt f ist injektiv. Die Bijektivität folgt dann ja direkt aus der Tatsache, dass f surjektiv und injektiv ist.

Die Definitionen von Injektivität und Surjektivität sind mehr ebenfalls bewusst.

Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet! :)

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Diese Aufgabe findest du bereits hier:

https://www.mathelounge.de/384640/endliche-funktion-surjektiv-injektiv-bijektiv-aquivalenz 

Entscheidend ist, dass X endlich ist. Sowohl injektiv als auch surjektiv bedeutet (anschaulich) bei endlichen Mengen, dass die Ausgangangsmenge und die Zielmenge gleich viele Elemente enthalten.

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Das hilft mir leider gar nicht :/

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Könnte es vlt. noch mal jemand ganz einfach erklären, so dass ich es auch verstehe? Es reicht mir auch in Worten :)

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Vom Duplikat:

Titel: Injektiv, surjektiv, bijektiv und bijektiv sind äquivalent für endliche Grundmenge X. Beweis?

Stichworte: surjektiv,injektiv,endliche,menge,funktion

Kann mir einer den Beweis vorführen danke voraus 

Answer 1

Die sechs Implikationen sind

1. (a) ⇒ (b)
2. (b) ⇒ (a)
3. (a) ⇒ (c)
4. (c) ⇒ (a)
5. (b) ⇒ (c)
6. (c) ⇒ (a)

> zeigen Sie,dass folgende Aussage äquivalent sind

Dazu genügt es zu zeigen

1. (a) ⇒ (b)
2. (b) ⇒ (c)
3. (c) ⇒ (a)

Dann gilt nämlich zum Beispiel auch (b) ⇒ (a), wegen (b) ⇒ (c) ⇒ (a).

> wie zeige ich es

Überlege dir, bei welchem Beweis du die Endlichkeit von A ausgenutzt hast. Das ist dann ein Hinweis drauf, was bei unendlichem A eventuell nicht mehr gilt.