Infimum. Wie kann ich, das unten beschriebene Bsp. zeigen? inf C = inf A + inf B

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

Es seinen A, B nicht-leere Teilmengen von ℝ und

C = A+B := {a+b : a ∈ A, b∈ B}

Man zeige:

inf C = inf A + inf B

Answer 1

zeige zunächst, dass     z =  inf A + inf B  eine untere Schranke

für C ist. Das bekommst du aus der Tatsache, jedes der

Infima eine untere Schranke für A bzw. B ist.Dann nimmst du an, es gäbe für A+B  eine größere unt.

Schranke als z und führst das zum Widerspruch.

Frag notfalls noch mal nach.

Comments

Kommentar zur →  Antwort ergänzt

Answer 2

Voraussetzung ist natürlich, dass A und B nach unten beschränkt sind.

Da inf(M) nach Definition die größte untere Schranke von M ist, gilt  mit a∈A und b∈B

für jedes  ε ∈ ℝ⁺:      a > inf(A) - ε   und   b > inf(B) - ε   

→   a + b  >  inf(A) + inf(B) - 2ε

Da ε  und damit auch 2∈  beliebig klein sein kann, ist   inf(A) + inf(B)  die größte untere Schranke von A+B

→   inf(A+B) = inf(A) + inf(B)

Gruß Wolfgang