Bestimme die folgenden Integrale (Linie,Kreisfläche,Kugelvolumen)

Question

Ich soll folgende integrale bilden. Ist mit Linie von 0 bis x=1 den integral von 1x gemeint?

∫_{Linie (r=1)}1dx

∫_{Kreisfläche(r=1)}1dxdy

∫_{Kugelvolumen(r=1)}1dxdydz

Answer 1

i)

∫Einheitslinie dx=∫-1 bis 1 dx=2

ii)

∫Einheitskreis dxdy=π

iii)

∫Einheitskugel=4π/3

Integral ii) und iii) lassen sich mit Polarkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten lösen.

Comments

also zu

i) _-1¹∫ 1dx= _-1¹ ∫1x=2

ii) iii) wie sehen die funktion und ihre dazugehörige stammfunktion weil ich net drauf komme

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Die Funktion bei ii) und iii) ist auch 1

Das einzige was sich ändert, sind die Integrationsgrenzen.

∫Einheitskreis dxdy=∫x^2+y^2<=1 dxdy

=∫0 bis 1 rdr*∫0 bis 2π dφ =1/2*2π=π

Im zweiten Gleichheitszeichen wurden Polarkoordinaten verwendet.

∫Einheitskugel dxdydz

=∫x^2+y^2+z^2<=1 dxdyz

=∫0 bis 2π dφ* ∫0 bis π sin(Θ)dΘ*∫0 bis 1 r^2 dr

=2π*2π*1/3=4π/3

Im zweiten Gleichheitszeichen wurden Kugelkoordinaten verwendet.

Falls dir das ungeläufig ist, siehe hier

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Man kann ii) und iii) auch in kartesischen Koordinaten lösen, aber dann wird das Integral halt komplizierter.

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wie kommt man denn auf die rechnung 1/2*2π=π und 2π*2π*1/3=4π/3 

steh halt bissi auf n schlauch :/. , hab auch die links angeschaut aber verstehe es net 

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bei ii)

löse die zwei Integrale

$$ \int_{0}^{2π} dφ = ?\\\int_{0}^{1}rdr=? \\ $$

einzeln und multipliziere die zwei Ergebnisse miteinander.

bei iii)

löse die drei Integrale

$$ \int_{0}^{2π} dφ = ?\\\int_{0}^{π} sin(θ)dθ = ?\\\int_{0}^{1}r^2dr=? \\ $$

einzeln und multipliziere die drei Ergebnisse miteinander.

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ii)  1.integral muss ich hier als f(x)=1 einsetzen, so dass ich auf das integral 1x komme und somit auf auf 1 * 2π ?2.integral muss hier nicht zuerst mein r=1 eingesetzt und integral gebildet werden oder ers allgemein das integral von r bestimmen, also 1/2 *r² = 1/2 *(1)² =1/2 ?iii) wie das gleiche oben also denke ich 1x = 1 * 2π = 2π2.integral wie sieht hier meine stammfunktion, da -cos die stammfunktion von sin ist ?3.integral  hier ganz normal allgemein r² integrieren und dann 1 einsetzen ? also 1/3 * (1)³ =1/3 ?

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Ja genau so :)

Zuerst Stammfunktion bilden, dann Grenzen einsetzen.

Bei dem ersten Integral hast du bereits richtig erkannt, da steht

$$ \int_{0}^{2π} dφ = \int_{0}^{2π} 1*dφ={ [φ]{ | }_{ 0 } }^{ 2π }=2π$$

$$\\\int_{0}^{1}rdr={ { [r^2/2]|  }_{ 0 }}^{ 1 }=1/2$$

usw.

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Bei sin(Θ) sollte doch -cos(π) = 1 raus kommen du hast aber 2π raus

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ooops, tut mir leid, da hast du Recht

Es ist

$$ \int_{0}^{π}sin(θ)dθ={ { -[cos(θ)] }_{ 0 } }^{π}=-[-1-1]=2 $$

Dann stimmt auch das Endergebnis V=4π/3