Mengen gegeben , sind sie Unterräume?

Question

Hallo die Aufgabe lautet :

Welche der folgenden Mengen sind Unterräume bzw. affine Unterr
äume des R^n? (Wenn ja: Beweis, wenn nein: Begründung)

a) (α1,α2 ) ∈ ℝ² : α1+α2=4

b) (α1,α2) ∈ ℝ² : α1*α2=0

c) (_{α1,α2....αn)} ∈ ℝⁿ : i=1 bis n ∑ αi^2≤1

d) (_{α1,α2....αn)} ∈ ℝ^{n :}i=1 bis n ∑ ((i^2)*αi )=0

bei a )

hab ich  aus α1+α2=4  gefolgert dass 4-α1=α2 ist und dann ( a1 , 4-a1) = (0,4) + a1*( 1,-1) ist also eine gerade  die durch den Punkt (0,4) dh  für die Form y=kx+d ist d =4 und somit verschoben und ein afiner Unterraum des R^2 .

Um zu Zeigen dass es auch ein Unterraum ist muss ich die 3 Eigenschaften zeigen bzw. widerlegen :

Die MEnge M ist ein Unterraum wenn gilt :

1) M ≠∅ oder der Nullvektor ist aus M 2) (u+w )∈M wobei u und w jeweils aus M sind . 3) λ*u ∈M mit u aus M und λ∈ℝ.

jedoch sieht man durch die Verschiebung das der Nullvektor nicht dabei ist , reicht das als Gegenargument um zu zeigen das die Menge für beispiel a)  Kein Unterraum ist?

bei  b)

(α1,α2) ∈ ℝ² : α1*α2=0 dh Es können hier 3 Fälle eintreten : 1) α1,α2=0 2) α1=0 3) α2=0

Falls jedoch 2 ) eintritt ergeben sich unendlich viel Parallel zur y -Achse  und dies würde die Ganze X-Y Ebene Ausfüllen .

bei 3 ) passiert das Gleiche wie bei 2) nur sind die geraden parallel zur x-Achse dann .

und bei 1) hat man den Punkt 0 dabei .

Für einen affinen Unterraum muss hier dann aber ein Punkt dabei sein der vom 0 Vektor abweicht oder? Dh dann es ist kein affiner Unterraum?

Für den Unterraum habe ich mal:

1) 0- Vektor ist Element von M

2) r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M

Für  alle r , s ∈ M ist auch

r + s = ( r₁ + s₁ , r₂ + s₂  ) ∈ M

3) a ∈ K, r ∈ M => ( a r ) ∈ M

Für  alle a ∈ K, r ∈ M ist auch

a * r = ( a r₁ , a r₂  ) ∈ M

also ein Unterraum ?


bei c und  d habe ich noch nichts bis jetzt .
Was sagt ihr zu a und b ? und kann mir jemand zeigen wie c und d geht ? Danke !

Comments

Wie würdest du "affiner Unterraum" in Worten erklären? (Alternativ: Exakte Definition).

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ZB eine Gerade der Form y=kx+d ist ein affiner Unterraum von R^2  wobei d dann die VErschiebung vom 0 Punkt angibt . EIn Affiner Unterraum ist ein Unterraum  vom 0-Punkt verschoben wie zb diese GErade .
Und was ein Unterraum ist habe ich schon hingeschrieben.

Verstehe ich das richtig?

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Teilweise richtig. Gemäss Definition und Erklärungen hier https://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum

darf v aber auch der Nullvektor sein.

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Wikipedia erklärt das gut mit der Ebenen bzw. der geraden .

Aber wie sieht dann der Fall aus wenn ein affiner Unterraum  auch ein Unterraum ist ? Ist hier v der 0 Vektor ?

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Ja. Zum Beispiel im R^2.

Aber auch so: Nimm mal die Gerade y = 2x.

Die geht durch P(1|2).

Auch mit Vektor v = (1|2)   kommst du wieder auf y=2x .

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Ein affiner Unterraum, der den Nullpunkt enthält ist meiner Meinung nach ein Untervektorraum.

Du darfst "vektor" nicht unterschlagen. Da jeder affine "Unterraum" ein "Unterraum" ist  aber nicht unbedingt ein Untervektorraum, zumindest wenn man die Bezeichnungen in Wikipedia nimmt.

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Ok alles klar ! Danke mal ! :)

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bei Beispiel c habe ich nun :

für (a1,.....,an)  soll die SUmme aller ai^2 ≤1 sein

wenn  nun a∈ℝ und (r1,...,rn)∈C ist kann man widerlegen dass für alle a∈ℝ auch (a*r) ∈C ist

zb : der Vektor ( 1,0,0,...,0) ist ≤1 und a =2 führt dazu das (2,0,0,....0) nicht ≤1 ist , ist dies ok um den 3 Punkt des UR zu widerlegen?

bei Beispiel D habe ich )

1) 0∈D da (0,0,0,0....,0)  auch hier ∑i=1 bis n i^2*ai=∑i=1 bis n i^2*0=0 gilt .

2) r, s ∈D => ( r + s ) ∈ D

Für  alle r , s ∈ D ist auch

r + s = ( r₁ + s₁ , r₂ + s₂ , r₃ + s₃ ) ∈ D

da wegen r , s ∈ D gilt:

∑i=1 bis n i^2*ri    und ∑i=1 bis n i^2*si

und somit auch gilt:

∑i=1 bis n i^2*(ri+si)=0

3)a ∈ ℝ, r ∈ D => ( a r ) ∈D

Für  alle a ∈ ℝ, r ∈ D ist auch

a * r = ( a r₁ , a r₂ , a r₃ ) ∈ D

da wegen r ∈ M gilt:

∑i=1 bis n i^2*ri

und somit auch gilt:

a _*∑i=1 bis n i^2*ri=0    

(" alles mal Null ist Null")

ist das richtig?

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Nur mal zu c)

"  bei Beispiel c habe ich nun :

für (a1,.....,an)  soll die SUmme aller ai² ≤1 sein

wenn  nun a∈ℝ und (r1,...,rn)∈C ist kann man widerlegen dass für alle a∈ℝ auch (a*r) ∈C ist 

zb : der Vektor ( 1,0,0,...,0) ist ≤1 und a =2 führt dazu das (2,0,0,....0) nicht ≤1 ist , ist dies ok um den 3 Punkt des UR zu widerlegen? "

Für KEIN UVR sollte das genügen. Und verschieben kann man die Punktmenge wohl auch nicht wirkliich, so dass ein affiner UR rauskommt. Ich habe gerade keine Zeit mir das genauer zu überlegen. 

Answer 1

jedoch sieht man durch die Verschiebung das der Nullvektor nicht dabei ist , reicht das als Gegenargument um zu zeigen das die Menge für beispiel a)  Kein Unterraum ist?

Ja, das reicht.Für einen Afinen Unteraum muss hier dann aber ein Punkt dabei sein der vom 0 Vektor abweicht oder? Dh dann es ist kein Afinner Unterraum?

Genau so ist es

1) 0- Vektor ist Element von M        ist ok

aber ist kein Unterraum;  denn ( 0;1) aus M



und ( 1;0)  aus M aber die Summe nicht.

Comments

Stimmt eine Koordinate muss wegen a1*a2 =0 zumindest 0 sein dh die Form ( a1,0) oder (0,a2) sollte immer vorhanden sein aber nicht sowas wie ( 1,1) dann .

Dh also b ist kein Unteraum und kein Affiner Unterraum , also weder noch?

bei c)

habe ich mir überlegt " Wenn die Summe aller quadrierten Koordinateneinträge von (a1...an)  kleiner gleich 1 sein müssen darf man alle indizes nur aus dem Intervall [-1,1] wählen .

Verschiebungspunkt sehe ich keinen dh es kann wenn möglich nur ein Unterraum sein :

1) Nullvektor ist dabei , kann alle ai=0 wälen da 0 Element von [-1,1]

2)

r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M

Für  alle r , s ∈ M muss dies nicht gelten

r + s = ( r₁ + s₁ , r₂ + s₂ , r₃ + s₃ ,.......,rn+sn) ∈ M

da wegen r , s ∈ M gilt:

₁ ≥ Summe der r_i^2 und ₁ ≥ Summe der s_{i ^2}

nicht unbedingt gelten muss dass

1 ≥ summe (r_i^2 + s_{i^2  )}

_{wenn zb (1,0,0...) +(1,0,0...) hat man diese Bedingung}
1 ≥ summe (r_i^2 + s_{i^2  ) nicht soweit ich das sehe oder?}

_{also kein Unterraum?}