Beweise mit vollständiger Induktion: 1+3+5+......+(2n+1) = (n+1)^2

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten natürlichen ungerade Zahlen bis  2n+1 gleich (n+1)² ist.

Mein Versuch:

Sei n ∈ IN, dann gilt: 1+3+5+......+(2n+1) = (n+1)²

IA: n=1:         1=(1+1)² also 1=1

IV: Für ein beliebiges n ∈ IN gelte 1+3+5+.....+(2n+1) = (n+1)²

IS: Zu zeigen ist, dass die Behauptung auch für n+1 gilt.

1+3+5+....+(2n+1)+(2n+1+1) = (n+1+1)²

1+3+5+....+(2n+1)+(2n+2) = (n+2)² 

(n+1)²+(2n+2) = (n+2)² 

Was meint ihr?

Comments

1 = (1 + 1)² stimmt wohl nicht.

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oh man, sorry, danke

Wenn n =1 dann

2*1+1 = (1+1)² ??? passt ja auch nicht. Wo ist denn mein Denkfehler?

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Mache den Induktionsanfang bei n = 0.

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aber 0 ist keine ungerad Zahl. Oder ist das egal, weil ich sie in (2n+1) einsetze?

Answer 1

Bei der Behauptung ist dir ein Fehler unterlaufen, die nächste ungerade Zahl nach (2n+1) ist (2n+1+2)

Answer 2

So ist es. Für n = 0 erhält man die erste ungerade Zahl 2·0 + 1 = 1. Und es gilt offenbar
2·0 + 1 = (0 + 1)².

Comments

Neuer Versuch:

Sei n ∈ IN, dann gilt: 1+3+5+......+(2n+1) = (n+1)²

IA: n=0:         (2*0+1)=(1+1)² also 1=1

IV: Für ein beliebiges n ∈ IN gelte 1+3+5+.....+(2n+1) = (n+1)²

IS: Zu zeigen ist, dass die Behauptung auch für n+1 gilt.

1+3+5+....+(2n+1)+(2n+1+2) = (n+1+1)²

1+3+5+....+(2n+1)+(2n+3) = (n+2)²  

(n+1)²+(2n+3) = (n+2)²

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n muss nicht ungerade sein, wie von dir geschrieben ist n∈ℕ, wobei die Null nicht immer zu diesen gezählt wird. Wenn du bei n=1 anfängst, dann einsetzen in (2n+1) und nicht vergessen alle ungeraden Zahlen bis einschließlich diesem Wert zu addieren! :)

So wie du es jetzt hast, sieht's aber auch gut aus, nur noch Umformen bis beide Seiten gleich sind.

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(n+1)²+(2n+3) = (n+2)² 

n²+4n+4 = n²+4n+4

Muss man das immer so machen? Also umformen bis auf beiden Seiten das gleiche steht? Ist in meinem Beispiel nämlich nicht so

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Ja , läuft immer so ab, obwohl man normalerweise nur die linke Seite umformen will, bis die rechte Seite rauskommt. ist ja eigentlich keine Gleichung, die du löst, sondern du willst zeigen, dass.du die linke Seite der IB in die rechte Seite überführen kannst. Ist formell etwas schöner, richtig ist es so aber auch. Zu dem Bsp. kann ich nicht wirklich was sagen, wenn du es nicht postest :)

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Das erklärt es eigentlich schon :-) Im Beispiel wurde die rechte Seite im Verlauf der Rechnung einfach weggelassen, hab ich jetzt gemerkt. Ich glaub, jetzt hab ich es verstanden.

Vielen lieben Dank!

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Kannst du mir noch erklären, wieso mein IA mit der 1 nicht funktioniert?

2*1+1=(1+1)²

3=4

oder muss es heißen:

1+....+ (2n+1)=(n+1)² 

1+3 = 4

Falls das letzte richtig ist versteh ich noch nicht ganz wieso.

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Das letzte ist richtig:

Die Aufgabe sagt "Die Summe der ersten natürlichen ungeraden Zahlen bis (2n+1), für n=1 ergibt sich also "die Summe der ersten natürlichen ungeraden Zahlen bis (2*1+1)=3". Vor der 3 gibt es noch die ungerade natürliche Zahl 1, also ist die Summe 1+ (2*1+1)=4.

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ah ok, alles klar !!!

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Ich habe noch mal eine Frage zum Induktionsanfang, wenn du nochmal Zeit hast :-)

Muss man im IA immer erstmal n=1 setzen?

Oder kann ich eine beliebige Zahl nehmen, der Einfachheit halber nimmt man nur meistens die 0 oder die 1?

Ich dachte wir zeigen im IA, dass die Behauptung für irgendeine Zahl gilt und dann im IS, dass sie für deren Nachfolger gilt. Oder kann man das so nicht sagen?

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Prinzipiell richtig, aber wenn du mit n=2 angefangen hättest und dann für n+1 den Beweis machst, hättest du ja nicht bewiesen, dass die Formel für n=1 gilt. Du willst also eigentlich mit dem kleinstmöglichen Wert anfangen, da vollständige Induktion normalerweise über die natürlichen Zahlen läuft also mit 0 oder 1, je nachdem ob dein Prof die 0 mit zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht.

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Ja ok, das macht Sinn, vielen Dank :-)