Grenzwert berechnen, Frage zum Rechnen mit Summenzeichen

Question

In der Aufgabe soll der Grenzwert der Reihe berechnet werden (Lösung):

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+7 n+12}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+3)(n+4)} \)
\( =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \ldots \)
\( =\frac{1}{3} \)

Ich verstehe allerdings die Umformung nicht vom zweiten auf den dritten Term..

Wie kommt dort das Minus-Zeichen hin?

Answer 1

Das ganze geschieht über Partialbruchzerlegung. Man vermutet eine Zerlegung wie folgt

1/((n+3)(n+4)) = a/(n+3) + b/(n+4)

Wir multiplizieren mal alles mit dem Hauptnenner

1 = a*(n+4) + b*(n+3)

Wir setzen mal für n -4 und -3 ein

1 = a*(-4+4) + b*(-4+3)
1 = -b
b = -1

1 = a*(-3+4) + b*(-3+3)
1 = a
a = 1

1/((n+3)(n+4)) = 1/(n+3) - 1/(n+4)

Comments

wow, da steckt echt eine partialbruchzerlegung hinter!
da hätte ich so nie gesehen :D

vielen dank! :)

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Ist in der Lösung auch etwas blöd gemacht. Man hätte wenigstens den Hinweis Partialbruchzerlegung anführen können. Aber da man bei Integralen und Summen eh immer Probiert aufwendigt Brücher über Partialbruchzerlegung zu zerlegen war man davon wohl ausgegangen das ihr das kapiert.

Answer 2

Kontrolle der Partialbruchzerlegung:

1/(n+3) - 1/(n+4) = (n+4 - (n+3))/((n+3)(n+4))= 1/((n+3)(n+4))
ist ok.

Answer 3

Hi, das ist eigentlich ein Fall für eine Partialbruchzerlegung ohne Ansatz, denn beim Betrachten des blauen Quotienten erweist sich der Zähler als Differenz der Faktoren des Nenners, also haben wir

1/(n^2+7n+12) = 1/((n+3)*(n+4)) = ((n+4)-(n+3))/((n+3)*(n+4)) = 1/(n+3)-1/(n+4).

Answer 4

Sieht für mich auch so aus, als ob das auch eigentlich mit "mal", anstelle von "minus" gerechnet wird.

Denn die Operation unter dem Bruch, zwischen den Klammern, ist ja Mulitplikation.