Eindeutige Matrix finden - Matrixmultiplikation

Question

Ich suche eine Lösung zum Folgenden Problem:
Ich habe eine Matrix A und eine Matrix B gegeben. Gesucht ist jedoch die eindeutige Matrix X liegt in den reellen Zahlen. Genauer gesagt soll das Produkt aus A und X die Matrix B ergeben.

Nochmal formell: A⋅X=B

Wie gehe ich da am besten vor? Ich vermute es geht in die Richtung transponieren und invertieren. Das würde mir zumindest den Sinn vom Transponieren erklären.

Answer 1

Prinzipiell könnte man einfach ein Gleichungssystem aufstellen.
Nehmen wir beispielsweise:

a11 a12                                  x11 x12                 b11 b12

                             mal                                  =

a21 a22                                  x21 x22                 b21 b22


Dann erhalten wir:

a11*x11 + a12 * x21 = b11

a11*x12 + a12* x22 = b12

a21*x11 + a22*x21 = b21

a21*x12 + a22*x22 = b22


4 Gleichungen mit den 4 Unbekannten x11, x12, x21 und x22


Bei größeren Matrizen analog.

Comments

bei einer 3x3 Matrix würde das doch ein viel zu umfangreiches Gleichungssystem werden. Gibt es da keine Alternative? Mir schwirrt die ganze Zeit Transponieren und Abbildungsmatrix durch den Kopf, kann mir es aber nicht herleiten wie es funktionieren soll. Der Weg würde mir in der bald anstehenden Klausur möglichwerweise ziemlich viel Zeit kosten...

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Tut mir Leid, da fällt mir momentan nichts Besseres ein :-(

Answer 2

Ist A invertierbar, kann die Matrixgleichung durch Multiplikation mit der Inversen von A von links nach X aufgelöst und X ausgerechnet werden. In jedem Fall kann das entsprechende lineare Gleichungssystem auch mit dem Gauß-Verfahren gelöst werden.

Comments

Das würde wie folgt lauten:

A ⋅ X = B
A^{-1} ⋅ A ⋅ X = A^{-1} ⋅ B
X = A^{-1} ⋅ B