Finden einer unteren Grenze

Question

Für welche n gilt n3 < 2n ?

Man darf hierbei ausnutzen, dass für n ≥ 10 die Ungleichung 3n2 + 3n + 1 < 2n gilt. 

Comments

Korrigiere bitte die Aufgabenstellung, so kann das aus mehreren Gründen nicht stimmen!

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n³ <  2n   n∈ℕ = { 1,2,3,... } 

ist offensichtlich für n≥2 erfüllt.

3n² + 3n + 1 < 2n  ist in jedem Fall falsch

Bist du sicher, dass die Aufgabenstellung stimmt?

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Könnte natürlich    n³ <  2ⁿ   heißen.

Answer 1

Ich nehme spasseshalber an, dass es um die \(n\) geht, für die \(2^n>n^3\) ist. Kann man mit vollstaendiger Induktion machen. Heute mal zuerst der Induktionsschluss: $$2^{n+1}=2\cdot2^n\stackrel{\text{IV}}{>}2n^3\stackrel{!}{>}(n+1)^3\quad\Longleftrightarrow\quad2>(1+\frac{1}{n})^3.$$ Man sieht, dass der Induktionsschluss ab \(n=4\) funktionieren wird. Jetzt kannst Du beginnend mit \(n=4\) einen Induktionsanfang suchen.