komplexe gleichung mit betrag lösen

Question

|z|²+iz+1=0

Ich habe z=a+bi gesetzt

und komme dann auf

a²+b²+ai-b+1=0

Wie geht man hier weiter vor?

Answer 1

Tipp: Insbesondere der Imaginärteil muss gleich Null sein.

Unknown: Damit Frage abgehakt ist, Erstkommentar als Antwort umgewandelt.

Comments

Warum muss das Imaginärteil =0 sein?

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Weil 0 = 0 + 0i ist.

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ok, aber warum ist auch der Realteil = 0?

In deiner Gleichung 0=0+0*i ist ja auch der Realteil 0

Ich bin mit komplexen Zahlen noch nicht so vertraut, deswegen die vielen dummen Fragen

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Sortiere deine letzte Gleichung nach Real- und Imaginärteil: (a² + b² - b + 1) + ai = 0.
Beide Teile müssen gleich Null sein, insbesondere also a = 0.

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Gut, dann muss ich ja nur noch b²-b+1=0 lösen....

Aber das beide Terme gleich 0 sein müssen, ist mir nicht ganz klar.

Natürlich ist 0+0*i=0  aber -10i+10i=0    also für a=10   stimmt doch auch. Es gibt doch demnach unendlich viele Kombinationen um 0 zu erhalten.

Warum betrachtet man nur den Fall Imaginärteil =0 (woraus natürlich folgt, dass der Realteil 0 sein muss).

Wenn z. B. der Imaginärteil 8 ist (also a=8 und demnach ai=-8i), muss eben der Realteil -8i sein.

Warum betrachtet man das nicht, sondern nur 0+0i=0 ?

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Jetzt kapier ich es (hoff ich zumindest ;))

Man hat ja

 (a² + b² - b + 1) + ai = 0.

Ich sage also (a² + b² - b + 1) + ai  ist eine komplexe Zahl und die rechte Seite 0=0+0i ist ebenfalls eine komplexe Zahl.

Und dann sage ich zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil den gleichen Koeffizienten haben, in diesem Fall Realteil = 0 und Imaginärteil = 0

Stimmt diese Begründung?

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Bingo. Aber besser:

Und dann sage ich zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie den gleichen Real- und Imaginärteil haben.

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Prima.

Man war das wieder eine schwere Geburt. Aber das war meine erste komplexe Gleichung, die ich lösen müsste. Da hat man schon mal Anlaufschwierigkeiten :D

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Die Gleichung |z|²+iz+1=0

hat also die Lösungen

z=b*i

wobei sich b aus  b² - b + 1 = 0 ergibt.

Passt?

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Nein, versuch doch mal b auszurechnen, dir sollte etwas auffallen.

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b²-b+1=0

b=(1±√-3)  /2

b=(1±i√3)  /2

b1=0,5+0,5i√3

b2=0,5-0,5i√3

b1 und b2 setze ich jetzt noch in z=b*i ein oder?

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b ist per Definition eine reelle Zahl.

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Also gibt es weder komplexe noch reelle Lösungen?

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So sieht es aus :).