Beweisen Sie, dass es einen Unterraum W von V geben muss so dass gilt: dim(U) < dim(V)-1

Question

hallo:)) ich habe wieder eine frage  würde das als antowrt reichen oder ist es falsch oder unverständlich?? danke : )))

Wenn gelten soll $$ dim(U) < dim(V) -1 $$

dann muss es einen Untervektorraum W von V geben, so dass

$$ U \subset W  \subset V $$ mit $$ U \neq W  \neq V $$

Annahme: Existiert W nicht, dann gilt nicht $$ dim(U) < dim(V) -1 $$

$$ U \subset V $$ mit $$ U  \neq V $$

Dann gibt es eine Basis von U mit $$ { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }  \in U $$

und nach dem Basisergänzungssatz mit U als Teilmenge von V ist:

$$ { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { v }_{ r+1 }, ... , { v }_{ t } \in V $$

Es soll sein:

$$ dim(U) < dim(V) -1   \Leftrightarrow dim(U) + 1 < dim(V) $$  $$\Leftrightarrow { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r +1} < { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { v }_{ r+1 }, ... , { v }_{ t } $$

Wenn nun die Basis von V mit nur einem Element ergänzt wird ist:

$$ { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r +1} = { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { v }_{ r+1 } $$

und $$ dim(U) + 1 = dim(V) $$

Wenn aber  $$  dim(U) + 1 < dim(V) $$ gelten soll, muss es einen Untervektorraum W von V geben, so dass

$$ dim(U) \subset dim(W) \subset dim(V) \\ \to \\ dim(U) < dim(W) < dim(V) $$

$$ \Leftrightarrow \\ (Basisergänzungssatz) \\ { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r } < { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { w }_{ r+1 }, ... , { w }_{ s } < { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { w }_{ r+1 }, ... , { w }_{ s },..., { v }_{ s+1 }, ..., { v }_{ t }$$

Wenn nun die Basis von V und W mit nur einem Element ergänzt wird  folgt:

 $$  { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r +1} < { u }_{ 1 } , ... , { u }_{ r }, { w }_{ r+1 },{ v }_{ s+1 } $$

und damit ist die Existenz des Untervektorraums W von V bewiesen, und es gilt $$ dim(U) < dim(V) -1 $$

Comments

Wenn nun die Basis von V mit nur einem Element ergänzt wird und die Basis von W auch mit nur einem Element ergänzt wurde folgt: 

Answer 1

Sei V = ℚ¹ ein ℚ-Vektorraum. Dann ist dim V = 1. Laut Behauptung müsste ein Untervektorraum W von V mit dim U < 0 existieren. Das ist nicht möglich.

Comments

ich habe einen K - Vektorraum V und es existiert ein Unterraum U vorgegeben entschuldige dass habe ich vergessen zu schreiben

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+ der K-Vektorraum V ist endlichdimensional und hat eine Basis

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> ich habe einen K - Vektorraum V und es existiert ein Unterraum U vorgegeben

Das ändert nicht viel. Sei V = ℚ¹ ein ℚ-Vektorraum und U = V. Wegen dim U = 1 und dim V = 1 existiert dann kein Umterraum W von V mit dim U < dim V.

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also oben steht ja wie auch in der aufgabe dass U ≠ W ≠ V gelten soll... und der unterraum U ist vorgeben existiert

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> also oben steht ja wie auch in der aufgabe dass U ≠ W ≠ V gelten soll

Die Forderung U ≠ W ≠ V ändert das natürlich.

Du solltest deutlicher angeben, was Voraussetzung ist, was Behauptung ist, und was zum Beweis gehört. Außerdem müssen Voraussetzung und Behauptung vollständig angegeben werden.

Bitte gib alle Voraussetzungen an und die vollständige Behauptung. Erst dann kann man beurteilen, ob dein Beweis korrekt ist.

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Die Behauptung kommt vor der annahme da oben und die Voraussetzung ist:

K ist Körper und U ist Unterraum eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V . Sei dim(U) < dim(V) - 1

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Mit dem Basisergänzungssatz zu argumentieren ist der richtige Ansatz. Deine Formulierung ist aber unverständlich.

Es sei dim U = r und B_U := {u₁, ..., u_r} eine Basis von U.

Seien ferner v₁, ..., v_s paarweise verscheidene Vektoren, so dass {v₁, ..., v_s} und {u₁, ..., u_r} disjunkt sind und B_V := {u₁, ..., u_r, v₁, ..., v_s} eine Basis von V ist (solche existieren wegen Basisergänzungssatz)

Wegen dim U < dim V -1 ist r < (r+s) - 1, also s > 1. Also gilt für B_W := B_V \ {v_s}

    B_U ⊂ B_W ⊂ B_V

    B_U ≠ B_W ≠ B_V

Weil B_V linear unabhängig ist, ist B_W linear unabhängig. Weil B_W linear unabhängig ist, ist v₁ nicht im Erzeugnis von B_U. Das Erzeugnis von B_U ist also echte Teilmenge des Erzeugnisses von B_W.

Wegen s > 1 und weil B_V linear unabhängig ist, ist v_s nicht im Erzeugnis von B_W. Das Erzeugnis von B_W ist also echte Teilmenge des Erzeugnisses von B_V.