Eine abzählbare dichte Totalordnung ohne maximale und ohne minimale Elemente ist eine Menge A zusammen mit einer Relation \( < \) und folgenden Eigenschaften
A ist abzählbar
\( < \) ist eine Totalordnung
\( < \) ist dicht, \( d . h \). zu \( a<b \) gibt es stets \( c \) mit \( a<c<b \)
es gibt kein minimales Element, \( d . h \). zu \( a \in A \) gibt es \( b \) mit \( b<a \)
es gibt kein maximales Element, \( d . h . \) zu \( a \in A \) gibt es \( b \) mit \( a<b \)
Seien \( (A,<) \) und \( (B,<) \) zwei solche Objekte (dass in beiden Fällen das Symbol " \( ^{\prime \prime} \) " für die Ordnung verwendet wird, schadet nicht).
Zu zeigen ist, dass es einen Isomorphiosmus von Totalordnungen gibt, \( d . h \). eine Bijektion \( f: A \rightarrow B \) mit \( f(a)<f(b) \) für alle \( a, b \in A \) mit \( a<b \).
Wegen der Abzählbarkeit können wir \( A=\left\{a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}, B=\left\{b_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \) schreiben für Bijektionen \( n \mapsto a_{n} \) bzw. \( n \mapsto b_{n} \)
Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( A_{n}:=\left\{a_{k} \mid k<n\right\} \) (insb. ist \( A_{1} \) die leere Menge). Die ordnungserhaltende Abbildung \( f: A \rightarrow B \) definieren wir rekursiv wie folgt:
Sei \( n \in \mathbb{N} \) und es sei \( f(x) \) bereits definiert für alle \( x \in A_{n} \) (dies ist also für \( n=1 \) trivialerweise erfüllt). Setze \( B_{n}:=\left\{f(x) \mid x \in A_{n}\right\} \)
An \( f\left(a_{n}\right) \) werden folgende Anfoderungen gestellt:
Falls \( a_{n}<\min A_{n} \), muss \( f\left(a_{n}\right)<\min B_{n} \) gelten. Setze \( X:=\left\{b \in B \mid b<\min B_{n}\right\} \)
Falls \( a_{n}>\max A_{n} \), muss \( f\left(a_{n}\right)>\max B_{n} \) gelten. Setze \( X:=\left\{b \in B \mid b>\max B_{n\}}\right. \)
Falls \( a_{r}<a_{n}<a_{s} \) für zwei in \( A_{n} \) benachbart liegende Elemente \( a_{r}, a_{s} \), so muss \( f\left(a_{r}\right)<f\left(a_{n}\right)<f\left(a_{s}\right) \) gelten (wobei übrigens \( f\left(a_{r}\right), f\left(a_{s}\right) \) auch in \( B \) benachbart sind und natürlich \( f\left(a_{r}\right)<f\left(a_{s}\right) \) nach Voraussetzung gilt). Setze \( X:=\left\{b \in B \mid f\left(a_{r}\right)<b<f\left(a_{s}\right)\right\} \)
In allen drei Fällen ist die Menge \( X \) der Elemente von \( B \), aus denen \( f\left(a_{n}\right) \) ausgewählt werden muss, nicht leer (nämlich weil \( B \) kein Minimum bzw. kein Maximum hat bzw. dicht ist). Daher gibt es \( m \in \mathbb{N} \) mit \( b_{m} \in X \) Setze \( f\left(a_{n}\right):=\min \left\{m \in \mathbb{N} \mid b_{m} \in X\right\} \)
Es folgt sofort, dass \( f \) auf diese Weise auch auf \( A_{n+1} \) ordnungserhaltend ist. Man kann auch sagen, dass \( A_{n} \) und \( B_{n} \) jeweils \( A \backslash A_{n} \) bzw. \( B \backslash B_{n} \) zu \( n \) Teilintervallen zerlegen. Als \( f\left(a_{n}\right) \) wird dann das frühestmögliche Element von \( B \) gewählt, das in demjenigen Teilintervall von \( B \) liegt, das dem Teilintervall von \( \mathrm{A} \) entspricht, in dem \( a_{n} \) liegt.
Auf diese Weise wird rekursiv eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) definiert. Diese ist ordnungserhaltend, denn für \( a, a \prime \in A \) mit \( a<a \prime \) gibt es ein \( n \) mit \( a, a \prime \in A_{n} \) und bereits dort gilt \( f(a)<f(a \prime) \)
Als Folge der Ordnungserhaltung ist \( f \) auch injektiv.
Zu zeigen ist, dass \( f \) surjektiv ist. Wäre \( f \) nicht surjektiv, so gäbe es ein minimales \( N \), so dass \( b_{N} \) nicht im Bild von \( f \) liegt.
Für hinreichend großes \( n \) liegen dann alle \( b_{k} \) mit \( k<N \) bereits in \( f\left(A_{n}\right) \). Nun liegt \( b_{N} \) wieder in einem der \( n \) durch \( f\left(A_{n}\right) \) definierten Teilintervalle von \( B \backslash f\left(A_{n}\right) \) und diesem entspricht ein Teilintervall \( I \) von \( A \backslash A_{n} \) Sei \( m \) minimal mit \( a_{m} \in I \). Dann führt obiges Verfahren aber dazu, dass \( f\left(a_{m}\right)=b_{N} \) gewählt wird. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass \( b_{N} \) nicht im Bild von \( f \) liegt. Also ist \( f \) doch surjektiv, insgesamt also bijektiv.
