Gilt es automatisch auch für alle negativen Zahlen (Archimedesaxiom)?

Question

Eine Definition für das Arch. Axiom ist:

∀x∈ℝ,x>0∃n∈ℕ: x≤n

Könnte ich es auch so formulieren: ∀x∈ℝ,x≠n∃n∈ℕ: x<n

Ich würde das kleiner-gleich durch ein kleiner-Zeichen ersetzten und einfach darvon ausgehen, dass das Axiom insbesondere für negative Zahlen gilt. Wenn ich in einem Beweis damit argumentiere, ist das akzeptabel? Besonders die Ordnungsrelation einfach umzuändern behagt mir nicht ganz....

Answer 1

∀x∈ℝ,x≠n ∃n∈ℕ: x<n   macht so keinen Sinn,

du kannst nicht vorn auf n "zugreifen", wenn es erst später festgelegt wird.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wie Wolfgang schon gesagt hat, macht diese Version keinen Sinn, allerdings könntest du es so umändern:

$$\forall x\in \mathbb R\ \exists n\in \mathbb N\colon x<n.$$

Beweis: Sei \(x \in \mathbb R\): $$\forall x\leq0\colon x<1\wedge 1 \in \mathbb N$$ $$\forall x>0\ \exists n\in \mathbb N\colon x\leq n < n+1=:m \Rightarrow \forall x>0 \ \exists m\in \mathbb N\colon x<m.$$