Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1 finden

Question

Wie finde ich einen Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1?

Comments

Wie finde ich einen Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1?

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Auf den ganzen Zahlen?

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Ja...

Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z, +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um einen Gruppenisomorphismus handelt). 

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Komme echt nicht weiter...

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Antwort ist bereits da, lade mal die Seite neu!

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Habe ich jetzt gesehen... vielen Dank ;-)

Answer 1

$$\psi\colon(\mathbb Z,\circ)\rightarrow(\mathbb Z,+)\colon z\mapsto z+1.$$

$$\forall m,n\in \mathbb Z\colon m+n+1=\psi(m+n)=\psi(m)\circ\psi(n)=(m+1)\circ(n+1)=(m+1)+(n+1)-1=m+n+1.$$

Comments

Nur warum genau ist m+n+1 isomorph

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Die letzte Zeile? Klar. Für einen Gruppenhom. $f$ muss man zeigen, dass für je zwei Elemente in $x,y$ in der ersten Gruppe gilt: $$f(x+y)=f(x)\circ f(y)$$ Dabei ist $+$ die Verknüpfung in der ersten Gruppe (im Definitionsbereich) und $\circ$ die Verknüpfung in der zweiten Gruppe (im Bildbereich). Was die letzte Zeile zeigt, ist, dass für alle Elemente $x,y$ des Definitionsbereichs gilt: $$f(x+y)=...=x+y+1=...=f(x)\circ f(y).$$ Damit haben wir die benötigte Eigenschaft gezeigt.

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.. für was genau steht das Symbol ψ

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Sorry, habe den Isomorphismus-Teil ganz vergessen:

$f(z)=z+1$ trifft ganz $\mathbb Z$, weil für ein beliebiges $m\in\mathbb Z$ gilt: $$f(m-1)=m.$$ Da für alle $m\in \mathbb Z$ auch $(m-1)\in \mathbb Z$ ist, haben wir die Surjektivität gezeigt. ("damit eine Zahl von der Abbildung getroffen wird, nimm eins weniger als die Zahl als Argument").

Für die Injektivität, nimm an, du hast $f(m)=f(n)$ für $m,n \in \mathbb Z$. Da $f(m)=f(n)\Leftrightarrow m+1=n+1\Leftrightarrow m+n$, müssen $m$ und $n$ bereits gleich sein. Es gibt also keine zwei ganzen Zahlen, die auf dasselbe abbilden.

Damit ist $f$ bijektiv.

Und ja, ich habs jetzt $f$ statt $\psi$ genannt. Hoffe, das ist nicht schlimm.

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$\psi$ ist der griechische Buchstabe psi, der oft für Gruppenhomomorphismen genutzt wird. Du kannst einfach $\psi$ durch $f$ ersetzen, wenn es dich stört.