Punktemenge in der komplexen Ebene skizzern UND berechnen

Question

ich muss eine Punktmenge in den komplexen Zahlen skizzieren (und auch rechnerisch Begründen, also Skizze alleine reicht leider nicht.

Ich habe mir schon gefühlt 100 Beispiele angesehen, aber oft finde ich nur Skizzen nicht jedoch den mathematischen Weg dorthin.

Ein Beispiel wäre:

$$ 1 < |z-3i| < 7  $$

Ich habe eine Vorstellung wie die Skizze auszusehen hat, aber nicht wie ich sie berechne.

Meine Überlegung war

$$ 1 < \sqrt{a^{2}+(b-3)^{2}} < 7 $$

quartiert wäre das dann:

$$ 1 < a^{2} + (b-3)^{2} < 49 $$

bzw.

$$ 1 < a^{2} + b^{2}-6b+9 < 49 $$

aber ab hier weiß ich nicht mehr weiter, geschweige denn weiß ich nicht mal ob es bis hierhin stimmt :(

Answer 1

|z| < 7 ist eine offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 7. Das folgt aus der Definition eines Kreises.

|z| ≤ 1 ist eine abgeschlossene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. Das folgt aus der Definition eines Kreises.

1 < |z| < 7 ist ersteres ohne zweiteres, also ein offener Kreisring um den Ursprung mit Innenradius 1 und Außenradius 7. Das folgt wegen Mengenlehre.

1 < |z-3i| < 7 vershiebt  den Kreisring um 3 entlang der imaginären Achse. Das ist eine Transformation, die z.B. auch in der Schule bei Funktionen besprochen wurde.