Ich würde den ersten Teil des Hinweises verwenden. Dass diese Gleichheit gilt, kannst du ja schnell durch Ausmultiplizieren nachprüfen. Dann hast du schonmal aus dem Term \(a^{n+1}-b^{n+1}\) einen Term gemacht, in dem \(a^n-b^n\) vorkommt, du also die Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst. Dann musst du nur noch den hinteren Summanden so schreiben, dass du ihn in die Summe einsetzen kannst, und du bist fertig.
$$\operatorname{(IV)}\ \forall a,b\in \mathbb R\!: a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}.$$
$$\operatorname{(IA)}\ n=1\!: a^1-b^1=(a-b)\sum_{k=0}^0a^kb^{0-k}=a-b.$$
$$\operatorname{(IS)}\ n\rightarrow n+1\!:a^{n+1}-b^{n+1}=[\text{Hinweis}]=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)\ \overset{\operatorname{(IV)}}{=\!=}\\\ \overset{\operatorname{(IV)}}{=\!=}\ a(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}+b^n(a-b)=(a-b)\left(\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-(k+1)}+1b^n\right)=[\text{Indexverschiebung}]=(a-b)\left(\sum_{k=1}^na^kb^{n-k}+a^0b^n\right)=(a-b)\sum_{k=0}^na^kb^{n-k}.$$
QED.
