0 Daumen
754 Aufrufe

Bild Mathematik Hi,

Aufgabe 4 i hab ich geschafft, nur komme ich bei der ii nicht weiter...

Wäre über jede Hilfe froh

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich würde den ersten Teil des Hinweises verwenden. Dass diese Gleichheit gilt, kannst du ja schnell durch Ausmultiplizieren nachprüfen. Dann hast du schonmal aus dem Term \(a^{n+1}-b^{n+1}\) einen Term gemacht, in dem \(a^n-b^n\) vorkommt, du also die Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst. Dann musst du nur noch den hinteren Summanden so schreiben, dass du ihn in die Summe einsetzen kannst, und du bist fertig.

$$\operatorname{(IV)}\ \forall a,b\in \mathbb R\!: a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}.$$

$$\operatorname{(IA)}\ n=1\!: a^1-b^1=(a-b)\sum_{k=0}^0a^kb^{0-k}=a-b.$$

$$\operatorname{(IS)}\ n\rightarrow n+1\!:a^{n+1}-b^{n+1}=[\text{Hinweis}]=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)\ \overset{\operatorname{(IV)}}{=\!=}\\\ \overset{\operatorname{(IV)}}{=\!=}\ a(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}+b^n(a-b)=(a-b)\left(\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-(k+1)}+1b^n\right)=[\text{Indexverschiebung}]=(a-b)\left(\sum_{k=1}^na^kb^{n-k}+a^0b^n\right)=(a-b)\sum_{k=0}^na^kb^{n-k}.$$

QED.

Avatar von 1,0 k


Kannst du mir vielleicht deinen Text oben noch erklären, weil ich verstehe ihn nicht ganz?:)

Aber schonmal Danke für deine Hilfe:D

Also die Induktionsvoraussetzung ist mir noch unklar

Bei \(\overset{\text{(IV)}}{=\!=}\) ersetze ich \(a^n-b^n\) durch \((a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}\), weil wir ja annehmen, dass die Induktionsvoraussetzung für \(n\) bereits stimmt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community