E1 und E2 schneiden sich in Gerade g. Bestimme E3 senkrecht zu E2 und parallel zu g.

Question

E1: x+2y-z=-3

E2: 2x+y+z=4

Schnittgerade g:

(1/3 | 0 | 10/3) + (-1 | 1 | 1)

ich benötige eine Ebene E3 die senkrecht auf E2 steht, und parallel zu g ist.

 

Answer 1

Die Schnittgerade erhält man durch Lösung des Gleichungssystems:

x + 2y -z = 3

2x + y + z = 4

als z. B. als g: Χ = (5/3, 2/3,0)^T + λ(-1,1,1)^T

E₃ soll senkrecht auf E₂ stehen und parallel zu g sein. D.h. der Normalenvektor n von E₃ muß senkrecht auf dem Normalenvektor von E₂ und dem Richtungsvektor von g stehen.

Man kann ihn durch das Lösen der beiden resultierenden Gleichungen oder durch das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren erhalten.

Letzteres ergibt:

$$n = \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} ×  \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-3\\3 \end{pmatrix}\\ \text{ Da E3 nur parallel zu g verlaufen soll und nicht notwendig g enthalten muß, lautet} \\ \text{ eine mögliche Ebenengleichung (hier durch den Ursprung: }\begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} X = 0$$

Wenn die Ebene g enthalten soll, setzt man den Punkt (5/3, 2/3,0) ein und erhält:

$$\begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} X = 2/3$$