Welche von denen ist ein inneres Produkt? (stetige Funktionen)

Question

Bezeichne C(0,1) den Vektorraum aller auf (0,1) stetigen Funktionen.

Welche der folgenden Abbildungen definiert ein inneres Produkt auc C(0,1)?

⟨f(x),g(x)⟩₁ = $$ \int_{0}^{1} x*f(x)*g(x)\quad dx $$

⟨f(x),g(x)⟩₂ = $$ -\int_{0}^{1}x^2*f(x)*g(x)\quad dx $$

Ich setze seit Stunden auf dieser Aufgabe ohne Erfolg, leider bringt mich die Definition nicht weiter.

Comments

leider bringt mich die Definition nicht weiter

Das ist ein Irrtum. Es sind natuerlich die in der Definition eines inneren Produkts genannten Eigenschaften zu ueberpruefen. Was denn sonst?

Answer 1

Die erste Abbildung ist ein Inneres Produkt:

a) linear im ersten Argument: <λf+μg,h> = λ<f,h> + μ<g,h>

b) symmetrisch: <f,g> = <g,f>

c) positiv definit: <f,f> ≥ 0 und <f,f> = 0 ⇒ f = 0

Die zweite Abbildung ist kein Inneres Produkt, da nicht positiv definit.