Beweis von (a) (−1)·v=−v. ... Vektorräume

Question

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v ∈ V . Zeigen Sie:

1. (a)  (−1)·v=−v.
   (Erläuterung: Mit ”1“ ist das neutrale Element der Multiplikation in K gemeint, und das Minus davor bedeutet: additives Inverses davon in K. Im Gegensatz dazu bedeutet das Minus vor dem v: Inverses von v bezüglich der Vektoraddition in V .)

2. (b)  {r·v|r∈K}ist ein Untervektorraum von V. 

Answer 1

Inverses von v bezüglich der Vektoraddition in V bedeutet:

Das ist der Vektor, der zu v addiert den 0-Vektor von V ergibt.

Also prüfe , ob  (−1)·v  diese Eigenschaft hat:

Sei also v aus V, dann gilt

v +  (−1)·v =      wegen Vektorraumaxiom  1*v=v

1*v +  (−1)·v  =     Distribut.

( 1 +(-1)) * v  =       Def. des  additiven Inversen  in K.

  0*v   =       (Habt ihr sicher schon bewiesen.)

 0-Vektor .    q.e.d.