Geraden kann man auf etliche verschiedene Arten mit Vektorräumen in Verbindung bringen. Wie betrachten die Gerade G, die durch y = 1 + 1/2 x gegeben ist: Man kann sie (1) als Funktion von ℝ nach ℝ auffassen, (2) als Teilmenge von ℝ 2 oder (3) als Element eines Quotientenvektorraumsℝ 2/U. Die Menge der Funktionen von R nach R fassen wir als R-Vektorraum auf mit ” punktweiser Addition und Multiplikation“.
(a) Geben Sie einen Untervektorraum U ⊂ ℝ 2 an, so dass G ein Element von ℝ 2/U ist. Ist Ihre Lösung die einzige Möglichkeit oder gibt es noch andere U' ⊂ ℝ 2 mit G ∈ ℝ 2/U' ?
(b) In welchen der Auffassungen (1)–(3) macht ” G + G“ Sinn? Dort, wo es Sinn macht: Bestimmen Sie G + G
(c) In welchen der Auffassungen (1)–(3) macht <G>ℝ Sinn? Dort, wo es Sinn macht: Bestimmen Sie <G>ℝ.
