Darstellung einer Funktion mit Begründung

Question

Welche Funktion ist hier dargestellt? Begründe jeweils, wenn es eine der angeführten Funktionen nicht sein kann.

Answer 1

Weil (mindestens) 4 Extremalstellen vorhanden sind muss der Grad von f ≥ 5 sein.

Somit sind a und c ausgeschlossen.

Nun schneidet f(x) die y-Achse bei x=2. Deshalb ist das absolute Glied 2 und e ausgeschlossen.

b) und d) haben beide den Grad 5. Somit sind keine Extremalstellen unsichtbar und die Kurve kann für betragsmässig grosse x-Werte das Vorzeichen nicht mehr ändern. Wenn x riesig und positiv ist, ist das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten entscheidend für das Vorzeichen von f. Deshalb ist b unmöglich.

Es bleibt nur d)

Answer 2

Es ist wahrscheinlich ganz schön schwer am Anfang richtig zu raten, deswegen schließe ich einfach mal systematisch Funktionen aus.

 

e) kann es nicht sein, denn es muss f(0)=2 gelten, weil die Funktion die y-Achse in (0,2) schneidet.

a) kann es nicht sein, da es sich um eine Ungerade Funktion handeln muss: für x → +∞ geht die Funktion gegen -∞ und für x→ -∞ geht sie gegen +∞. Das heißt, der höchste Exponent von x muss eine ungerade Zahl sein - außerdem muss der ein Minus davorstehen haben, sonst würde die Funktion genau umgekehrt aussehen. b) kann es also auch nicht sein.

c) kann es nicht sein, weil die Funktion vier Extrempunkte hat - für einen Extrempunkt muss ja die Ableitung 0 sein. c) ist aber eine Funktion dritten Grades, die Ableitung ist also eine Funktion zweiten Grades, die nur höchstens zwei Nullstellen besitzt.

Also kann die richtige Lösung nur d) sein.