Lineare Abbildung von R^2 zu R^2 mit f_(6)({(x|1)} | x€R} ) ist ein einziger Punkt in R^2?

Question

Lineare Abbildungen von  R^2 zu R^2 finden

Comments

d) ist keine lineare Abbildung, da f((0|0)) ≠ (0|0)

Bitte Fragestellung selbst exakter angeben. 

---

$$\text{(e) }\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y-x\end{pmatrix}.$$

---

In jedem der folgenden Fälle: Bestimmen Sie, ob es keine, eine oder mehrere lineare Abbildungen von R2 nach R2 mit den angegebenen Eigenschaften gibt 

---

Habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll

---

nn, gibt es jetzt bei e eine oder mehrere lineare Abbildungen?

---

Typischerweise ist eine lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) der Gestalt \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}\).
Nun soll gelten \(\begin{pmatrix}x\\x+1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}\). Sukzessive folgt \(b=0,a=1,d=1,c=-1\).

---

Danke und wie beweist man f?

---

Analog zu (e) findet man bei (f) \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0\\ry\end{pmatrix}\) mit beliebigem \(r\in\mathbb R\).

---

Das heißt, es gibt unendlich viele Abbildungen?

---

Das heißt es. Jede reelle Zahl stellt eine der gefragten linearen Abbildungen dar.

Answer 1

d e erledigt.

f)   Alles auf ( 0;0) abbilden klappt immer .

Comments

Wie zeigt man das?

Answer 2

was wäre denn beispielsweise:

$$ f_4 \left( \begin{pmatrix} x+y \\ 0 \end{pmatrix}\right) = ?$$

$$ f_4 \left( \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\right) +f_4 \left( \begin{pmatrix} y \\ 0 \end{pmatrix} \right) = ?$$

für \(x,y \in \mathbb{R} \)?

Gruß,