Rang der Abbildung und Basen bestimmen

Question

(a) Bestimmen Sie den(a) Bestimmen Sie den Rang der Abbildung f : R 3 → R 3 (x, y, z) ↦ (x + y, y + z, z + x)

(b) Geben Sie Basen v₁, v₂, v₃ und w₁, w₂, w₃ von R ³ an (für die Abbildung aus (a)) erfüllt ist, d. h.

 f(v_i) = w_i falls i ≤ rk f und f(v_i) = 0 sonst.

Comments

a) 

f : R 3 → R 3 (x, y, z) ↦ (x + y, y + z, z + x) 

müsste eigentlich durch die Matrix 

A =

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1]

[ 1 0 1 ] 

beschrieben werden. 

Kontrolliere das und bestimme den Rang von A. 

b) verstehe ich nicht. 

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 Wie beweist man dass der Rang bei a) 3 ist?

Answer 1

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1]

[ 1 0 1 ] 

gibt 

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1 ]

[ 0 -1 1 ] und dann

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 0 0 2 ]also rg = 2  und wenn du für die v's


die Standardbasis nimmst, sind die w's die Spalten der ursprünglichen Matrix. 

Comments

sind die w's die Spalten der ursprünglichen Matrix. 

Richtig ist :   ... stehen die Koordinaten der w's bezüglich der Standardbasis in den Spalten der ursprünglichen Matrix.

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Kann bitte jm. noch mit b) helfen

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Ja bitte, komme auch überhaupt nicht weiter.

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Wie folgt man daraus dass der rang 2 ist?

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@Mathestudi. Wenn mathef richtig umgeformt hat, ist der Rang der Matrix 3.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+((+1,+1+,0+),(+++0,+1+,1),+(+1,+0,+1+))

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Oh Pardon, da hatte ich irgendwie gepennt.

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Könnte mir einer noch bei b weiterhelfen

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Ja  bitte, brauche die auch

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Da ja nun der Rang = 3 ist ,  ist b) ja ganz einfach:

Du nimmst die drei Standardeinheitsvektoren als Basis v1, v2, v3.

Dann ist doch   f(v1) =

1
0
1

Und wenn du den als w1 nimmst, hast du f(v1) = w1 erfüllt.

Entsprechend w2 und w3.  Da ja der Rang 3 ist, sind die

drei w's wirklich lin. unabh. und bilden also eine Basis von IR³.

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Kann bitte jemand erklären wieso in Gottes Namen der Rang aufeinmal 3 ist? Ich hab auch 2 raus, und aus dem Kauderwelsch von der Seite werd ich nicht schlau.

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"wieso in Gottes Namen der Rang aufeinmal 3 ist?"

In der Dreiecksform gibt es keine Nullzeile, daher ist der Rang dieser 3x3-Matrix 3. 

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Hab jetzt auch gemerkt, dass das was ich ausgerechnet hab rk3 ist und nicht 2. War irritiert. Aber danke

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"Und wenn du den als w1 nimmst, hast du f(v1) = w1 erfüllt. "

bei dem Part komm ich nicht mehr mit. Bin soweit, dass f(v1)=1,0,1 ist (1,0,0 eingesetzt in x+y,y+z,z+x) und jetzt ?

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Wie beweist man, dass rk3 ist?

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Es genügt, dass du die Matrix auf Dreiecksform bringst.

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Wie macht man das?

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@elpatrondecolombia

Du sollst doch eine Basis w1, w2 , w3 finden, so, dassf(v1)=w1  und f(v2) =w2 etc. ist.

Also nimm die f(v1) , f(v2) und f(v3) als w1  und w2 und w3.

Dann hast du diese Basis.