Es geht um komplexe Zahlen. Drei Lösungen der Gleichung z3 = 10 - 5i, kartesisch und exponential .

Question

Es geht um komplexe Zahlen. Es sei z ∈ C . Berechnen Sie die drei Lösungen der Gleichung z3 = 10 - 5i. Geben Sie das Ergebnis in kartesischer und in exponential Darstellung an. 

Ich weiß hier nicht weiter....

Ist er richtig, dass Umrechnen in Exponentialform z3 = r⋅ej⋅(φ+L⋅2π) L∈Z

r= 102+252 

Da der Realteil =0 und der Imaginärteil<0 ist, gilt φ = 3 π 2 

Kann mir jemand bitte helfen diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

allgemeine Anleitung:

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

Kontrolllösungen:

z₀ ≈ 2,2094163 -  0,34420843 · i

z₁ ≈ - 0,80661492 + 2,0855149 · i 

z₂ ≈ - 1,4028014 - 1,7413065 · i

Gruß Wolfgang

Comments

Kontrolllösungen:

Das sind  Kontrollnäherungen

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Ich weiß, dass hier nur Hilfe bei einer Lösung angeboten wird. Ich leider jedoch extrem unter Zeitdruck und muss bis heute Abend diese Aufgabe lösen und weiß nicht weiter. Daher wäre ich dankbar, wenn du mir den Lösungsweg etwas erläutern würdest. The Theorie verstehe ich halt nicht. Es ist wirklich eine Ausnahmesituation. Danke.

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z3 = 10 - 5i.Soll das vielleucht z³ = 10 - 5i.heißen?

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So ist es, mein Fehler. Entschuldige.

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@jc2144

Dein Wunsch war mir Befehl :-)         [ ≈ statt = in der Antwort editiert ]

@Sako

bei dir ist n = 3

w = 10 - 5i  →   a = 10 ;  b = -5

  k = 0,1,2

jetzt  musst du wirklich nur noch Zahlen in den TR einsetzen. Zutreffende Formeln sind markiert.

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r = √(a² +b²) =√100 + 25 macht dann im Ergebnis aber keinen Sinn oder?

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Du musst doch r   ( = √125)  am Ende in die Formel für z_k  vorn unter der Wurzel einsetzen.

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Stimmt. Dann komme ich auf das Ergebnis, richtig?

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Deine Lösungen haben mit meinen in der  Antwort angegebenen Lösungen nichts zu tun.

³√r = ³√(√125) = √5

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Dann stimmt was nicht, weil dies die angestrebte Lösung ist laut der Lösungsskizze. Ich verstehe einfach auch nicht, wie man auf diese Werte kommt.

z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n}

^{dabei ist} φ = 3 π 2 richtig?

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(5i)³ = - 125 i   ≠  10 - 5i

5i  ist also keine Lösung von  z³ = 10 - 5i

Du hast recht, da stimmt etwas nicht!

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Tut mir Leid, dass ich nerve aber auf die unten von Dir genannten Werte komme ich nicht. Sind die wirklich richtig? Sorry, ich komme einfach nicht drauf.

z₀ ≈ 2,2094163 -  0,34420843 · i

z₁ ≈ - 0,80661492 + 2,0855149 · i 

z₂ ≈ - 1,4028014 - 1,7413065 · i

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was muss ich bei der Formel bei φ  einsetzen zum Beispiel?

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 bei dir ist n = 3 

w = 10 - 5i  →   a = 10 ;  b = - 5 

  k = 0,1,2

→ r = √(a² +b²)  = √125  

φ_w =  - arccos(a/r)   [ wenn b<0 ] .  (steht in der Antwort)

φ_w = - arccos(10/√125)  →  φ_w ≈ - 0.4636476090 ≈ - 0,464

z_k = ⁿ√r · [ cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

z.B. für k=2 :

z₂  ≈  ³√(√125) * ( cos((- 0,464 + 2 * 2π) / 3 ) + i * sin((- 0,464 + 2 * 2π) / 3) )

     ≈  -1,403 - 1,741·i

 Jetzt musst du für die beiden anderen Lösungen wirklich nur noch  k = 0 und 1 statt k = 2 einsetzen.

Answer 2

Vielleicht hilft das:

$$ z^3= 10- i \cdot 5 $$
$$\arctan(-\frac5{10})=5,8195377$$
$$\frac{\arctan(-\frac 12)}{3}=1,9398459$$
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$$\sqrt{10^2+5^2}=(125)^\frac12$$
$$(\sqrt{10^2+5^2})^\frac 13 =(125^\frac 13 )^\frac12$$
$$(\sqrt{10^2+5^2})^\frac 13 =\sqrt 5$$
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$$z=\sqrt 5 \,  e^{i \, 1,9398459+ k \cdot \frac{2 \pi}3}$$

*obgleich ich nur sieben Nachkommastellen angegeben habe, erlaube ich mir das "=" zu setzen ...

Comments

Laut Definition von arctan  muss es wohl  arctan ( -5/10 ) ≈ - 0.4636476089  heißen.

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Richtig - ich habe jedoch gleich 2Pi hinzuaddiert, um auf einen positiven Winkel zu kommen.

Mit dem negativen definitionskonformen Winkel ergibt sich die gleiche Lösungsmenge.

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War mir schon klar :-)

Aber arctan ist halt eindeutig definiert.