Kontrolle Rang einer Matrix bestimmen

Question

Gegeben sein ein Gleichungssystem Ax=b mit einem Parameter a∈ℝ:

x1+x2-x3=1

2*x1+3*x2+a*x3=3

x1+a*x2+3*x3=2

Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Rang der Koeffizentenmatrix des Gleichungssystems A und der erweiterten Matrix A|b.

 Ich würde sagen für a ≠1 und a≠ -2 hat die Matrix den Rang 1, für a =1 und für a =-2 den Rang 2 und für die erweiterte A|b = 1. Stimmt das so weit?

Die 2. Frage lautet: Für welchen Wert a existiert keine, eine oder mehrere Lösungen?

Ich denke mehrere existieren wenn a gleich 1 oder 2 ist. Keine Lösungen gebe es wenn der Rang A< Rang A|b ist aber das ist ja bei mir nie der Fall oder?

Danke schon mal für die Hilfe!

Answer 1

> Ich würde sagen für a ≠1 und a≠ -2 hat die Matrix den Rang 1, für a =1 und für a =-2 den Rang 2 und für die erweiterte A|b = 1. Stimmt das so weit?

Da sind dir wohl einige Fehler (beim Gauß-Algorithmus?) unterlaufen:

Der Rang der quadratischen Koeffizientenmatrix ist 2 für a = 2 oder a = - 3,  sonst ist er 3.

Der Rang der erweiterten Matrix ist  2 für a = 2, sonst ist er 3

→  Das LGS hat

      genau eine Lösung für a ≠ - 3

      mehrere Lösungen für a = 2

      keine Lösung für a = - 3

Gruß Wolfgang 

Comments

Kannst du mir vielleicht deine Matrix aufschreiben? Der Rang ist so weit ich weiß die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen-Vektoren oder? Und wie bestimmst du wie viele Lösungen es gibt?

Danke auf jeden Fall für die Hilfe!

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@Ti-30X Pro: 

> Kannst du mir vielleicht deine Matrix aufschreiben? 

⎡ 1   1                 -1              1    ⎤

⎢ 0   1             a + 2            1    ⎥

⎣ 0   0     - a²  - a + 6      2 - a  ⎦

> Der Rang ist so weit ich weiß die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen-Vektoren oder?

Das stimmt.

Rang = Zeilenzahl - Nullzeilenzahl

>  Und wie bestimmst du wie viele Lösungen es gibt?

Sei K die quadrarische Koeffiientenmatrix,  B die Matrix M|b

Rang(M)  = 3  →  genau eine Lösung

Rang(M) < 3  und  Rang(M) = Rang (B)   →  mehrere Lösungen

Rang(M) < 3  und  Rang(M) ≠ Rang (B)   →  keine Lösung

hrere Lösungen

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Ich komme leider nicht auf deine Matrix. Zeile 1 und Zeile 2 sind bei mir gleich aber wie kommst du auf Zeile 3? Ich hab da stehen

o,a-1,4,1

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Tippfehler. Habe natürlich bei Zeile 3 stehen:

0,a-1,4,1