Summe mit Hilfe von Binomischen Lehrsatz berechnen ∑(n über k)(k+1)*3^k

Question

folgende Frage:

Summe mit Hilfe von Binomischen Lehrsatz berechnen:

Summe von k=0 bis n

∑(n über k)(k+1)*3^k

Wie wende ich die Formel an?

Comments

Hallo folgende Frage:

Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes:

Summe von k=0 bis n

∑(n über k)(k+1)*3^k

Tipp: (n − k)! = ((n − 1)(k − 1))!

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Der gegebene "Tipp" ist fehlerhaft.

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Stimmt Tipp: " (n − k)! = ((n − 1)(k − 1))! "?

Oder meinst du 

Tipp: (n − k)! = ((n − 1)-(k − 1))!

Vgl. mal hier: https://www.mathelounge.de/5938/folgern-sie-aus-dem-binomischen-lehrsatz-%CF%83-3-k-n-uber-k-4-n

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Also der Tipp ist schon richtig, mit einem Mal dazwischen.

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Wwas ist das denn für ein Tipp?

Für \( n = 3 \) und \( k = 1 \) gilt doch

$$ (n-k)! = 2! = 2 $$ aber

$$ [(n-1)(k-1)]! = [2 \cdot 0 ]! = 0! = 1  $$

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Ich habe das ja soweit schon umgeformt, komme aber nicht weiter.

n!*(n-1)!*(k+1)*3^k

k*(k-1)!*((n-1)*(k-1))!

Soll ein Bruch sein. Ich weiß leider nicht wie ich das abtippen soll.

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Du hast völlig Recht!!! Das kann ja nicht sein. Lustig lustig was manch so ein Lehrer uns aufgibt ("grins")

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Wie würdest du mit deinem Tipp rechnen? Kann man da überhaupt was machen?

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Ich würde meine alte Antwort im Link rezyklieren und den fehlerhaften Tipp einfach ignorieren.

Vielleicht wollte euer Lehrer euch irgendwie auf die Idee bringen einen Induktionsbeweis zu machen. Scheint mir aber äusserst umständlich.

Schau auch mal noch die Rechnung von Capricorn im Kommentar hier an: https://www.mathelounge.de/4478/summen-berechnen-mit-hilfe-des-binomischen-lehrsatzes

Answer 1

definiere die Funktion \(f\) durch \(f_n(x)=(1+x)^n\). Nach besagtem Satz gilt$$f_n(x)=(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot x^k.$$Ableiten liefert$$f_n'(x)=n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n\binom nk\cdot k\cdot x^{k-1}.$$Es folgt$$f_n(x)+xf_n'(x)=(1+x)^{n-1}\cdot(1+x+nx)=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot(k+1)\cdot x^k.$$Setze nun \(x=3\).

Gruß