Aufgabe Standardabweichung, Erwartungswert. Nummerierte Farbige Kugeln

Question

Gegeben sei eine Urne mit sechs Kugeln. Zwei sind rot und haben den Wert 1 aufgedruckt, zwei sind gelb und haben den Wert 1 aufgedruckt, eine ist gelb und hat den Wert 2 aufgedruckt, eine ist gelb und hat den Wert 5 aufgedruckt.

a) Es wird eine Kugel aus der Urne gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Zahl auf der Kugel an. Bestimmen Sie Erwartungswert, Standardabweichung, sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X .

b) Es werden ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Die Zufallsgröße Y ist die Augensumme der Zahlen auf den gezogenn Kugeln. Bestimmen Sie  Erwartungswert, Standardabweichung, sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y.

c) Es werden mit einem Griff Kugeln aus der Urne gezogen, wobei nur die Farbe betrachtet wird. Für eine gelbe Kugel bekommt der Spieler 2€, für eine rote Kugel muss er 5€ zahlen. Vor Beginn der Ziehung muss der Spieler festlegen wie viele Kugeln er ziehen  möchte. Die Zufallsgröße Z beschreibt den Gewinn bzw. Verlust des Spielers. Peter ist vorsichtig und zieht nur eine Kugeln. Sven ist der Ansicht, er hätte mit dem Ziehen von drei Kugeln eine bessere Chance. Beurteilen Sie die Strategien.

Ich habe bei der a) Folgendes raus:

Zahl 1 , Erwartungswert = 2/3, Varianz= 2/9 und Standardabweichung=0,47

Zahl 2, Erwartungswert= 1/6, Varianz= 5/36 und Standardabweichung=0,37

Zahl 5, wie bei Zahl 2

Stimmt das? Wenn ja würde bei der b) dann gleich vorgegangen werden? Bei der c) hab ich noch nicht so die Idee, bei Peter ist es ja denke ich 2/3*2+1/3*(-5)

Answer 1

a) Ziehe 6000 mal mit Zurücklegen eine Kugel. Addiere alle Zahlen die gezogen wurden. Teile das Ergebnis durch 6000. Schätze was für eine Zahl du bekommst. Diese Zahl ist, wenn du richtig geschätzt hast, der Erwartungswert. Der Erwartungswert ist also eine Schätzung für den Durchschnitt aller gezogenen Zahlen.

So kannst du ihn berechnen.

1. 4/6 der Kugeln haben eine 1. 4/6 von 6000 sind 4000, also wird wohl 4000 mal eine 1 gezogen. Das ergibt 4000.
2. 1/6 der Kugeln haben eine 2. 1/6 von 6000 sind 1000, also wird wohl 1000 mal eine 2 gezogen. Das ergibt 2000
3. 1/6 der Kugeln haben eine 5. 1/6 von 6000 sind 1000, also wird wohl 1000 mal eine 5 gezogen. Das ergibt 5000
4. Zusammen ergibt das 4000 + 2000 + 5000 = 11000.
5. Geteilt durch 6000 ergibt das 11000/6000 = 11/6.

Hier ist die Rechnung noch mal als vollständiger Term

$$\frac{\frac{4}{6}\cdot 6000 \cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 6000 \cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 6000 \cdot 5}{6000} \\= \frac{\left(\frac{4}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 5\right)\cdot 6000}{6000}\\= \frac{4}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 5\\=\frac{4}{6} + \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$$Wie du siehst kann die 6000 (die ich am Anfang willkürlich gewählt habe) weggekürzt werden und haben dann auf das Ergebnis keinen Einfluss. Deshalb werden bei der Berechnung die ersten zwei Zeilen weggelassen.

> Zahl 1 , Erwartungswert = 2/3

Was du hier angegeben hast ist die Wahrscheinlicheit, das eine 1 gezogen wird. Wahrscheinlichkeit ist eine Schätzung für die relative Häufigkeit. Erwartungswert ist eine Schätzung für das durchschnittliche Ergebnis.

Um den Erwartungswert zu berechnen braucht es mehr als nur Wahrscheinlichkeiten. Vielmehr muss das Ergebnis des Experiments in Zahlen ausgedrückt werden können. Für die Zufallsgröße F: Farbe der gezogenen Kugel ergibt es keinen Sinn, den Erwartungswert zu berechnen. Was soll denn zum Beispiel der Durchschnitt aus 3 roten und 5 gelben Kugeln sein?

Comments

Ich habe bei der a) Folgendes raus:

Für Zahl 1:(p=x)=23
Für Zahl 2:(p=x)=16
Für Zahl 5:(p=x=16

E(x)=23⋅4+16+1+16⋅1=3
V(x)=23⋅ (3-4)²+ 16 *(1-4)²+ 16 *(1-4)²= 113
σ=113=1,91

---

> Für Zahl 1:(p=x)=23

Ich weiß nicht, was du damit meinst. In der Aufgabenstellung kommt kein p und kein x vor. Und woher kommt die 23?

Notation:

• P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt.
• P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, dem durch die Zufallsgröße X der Wert k zugeordent ist.
• E(X) ist der Erwartungswert der Zufallsgröße X.

> 23⋅4+16+1+16⋅1=3

Rechne aus was auf der linken Seite der Gleichung steht.

Rechne aus was auf der rechten Seite der Gleichung steht.

Überlege ob ein Gleichheitszeichen wirklich das geeignet Zeichen ist, um linke und rechte Seite miteinander zu verbinden.