Aufgabe zum Grenzwert einer geometrischer Reihe

Question

Ich habe hier folgende Aufgabe bei der ich einfach nicht auf die Lösung komme:

"Berechnen Sie im Falle der Existenz folgende Grenzwerte, beziehungsweise zeigen Sie andernfalls, dass die Grenzwerte nicht existieren."

b) $$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { 5·{ 3 }^{ n-1 } }{ { 4 }^{ n-1 } }  } $$

Ich habe bis jetzt versucht das q herauszufinden um dann den Grenzwert über $$ \frac { 1 }{ 1-q } $$ herauszufinden.  Ich habe ein q von 0,75 betstimmt, damit komme ich aber nicht auf die mir bekannte Lösung von 60.

Ich komme ansonsten nur auf krumme Zahlen und habe irgendwie das Gefühl auf dem Holzweg zu sein...Im Netz sind überall nur Anleitungen zum Bestimmen von q bei extrem einfachen gleichungen( zumindest nicht vergleichbar mit diesem Bruch).

Ich wäre sehr Dankbar wenn mich hier einer von euch wieder auf den richtigen Lösungsweg bringen könnte!

Answer 1

Hi,

die von dir angegebene Formel gilt nur, wenn man von \( n= 0 \) an fängt zu summieren. Außerdem muss Du noch den Faktor 5 in der Summe beachten und das der Exponent \( n-1 \) lautet. Außerdem ist das Ergebnis 15 und nicht 60.

Answer 2

Der Term 1/(1-q) ist noch keine Formel. Die Formel heißt 1/(1-q) =q⁰+q¹+q²+q³+q⁴+ ... Daraus folgt die Formel 5/(1-q) =5·(q⁰+q¹+q²+q³+q⁴+ ...). Die rechte Seite ist hier durch das Summenzeichen ausgedrückt, wobei das erste Glied 5q⁰ fehlen soll. Berechne also 5/(1-q) - 5 für q=3/4.