Dimension und Kern einer Matrix

Question

Ich habe gerade Mühe etwas Grundlegendes zu Verstehen. Und zwar dachte ich immer dass der Rang einer Matrix = Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ist. Also z.B. rang({1,0},{0,1}) = 2. Und des weiteren dachte ich dass die Dimension einer Matrix ebenfallst = Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ist. Also zu meinem vorherigen Beispiel: rang({1,0},{0,1}) = 2 = dim({1,0},{0,1})

Nun habe ich aber im Skript gelesen, dass die Dimension einer Matrix M_n(K) folgendes sein soll: n^2

Dann währe ja dim({1,0},{0,1})=4 ?

Was ist nun richtig? Ich hoffe jemand kann mir das kurz erklären :) Gruss

Answer 1

Mit dem Rang liegst du richtig.

Dimension meint hier vielleicht:

Dimension des Vektorraumes der (z.B.) 2x2 Matrizen. Die ist in

der Tat 4.

Comments

Ist nicht die Dimension eines Vektorraums die Anzahl der Basisvektoren? Das währe doch in dem Fall 2?

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Eine Basis für den Vektorraum der 2x2 Matrizen ist
 
10     01      00      00
00     00      10      01


also 4 Stück

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ai ai ai stimmt da hab ich mich vertan.

Answer 2

Die Dimension einer Matrix gibt es nicht.

Es gibt die Dimension eines Vektorraumes. Die Menge der 3×5-Matrizen über einem Körper ist zusammen mit der Matrixaddition und komponentenweise definierten skalaren Multiplikation ein Vektorraum. Dieser Vektorraum hat die Dimension 3·5 = 15.