Einfache Frage - dimKer(f) und dimIm(f) bestimmen

Question

kurze Frage nur, weil ich dafür schon ewig am Suchen bin aber irgendwie nicht die richtige Formel in meinem Skript finde:

Wie genau ist die Dimension vom Kern einer lin. Abb. und des Bildes der lin. Abb definiert?

Beispiel:

Ich habe eine Matrix A 3x3 gegeben und schon die Basis des Kerns errechnet, diese Basis besteht nur aus dem Vektor <1 -2 1>.

Ist die dim(Kernf) dann 1, weil die Basis nur einen Vektor hat? Verhält sich das genau so beim Bild?

Ich habe noch die Formel gefunden: (für Abbildung f:V-->W und gegebener Matrix A) dimKerf=dim(V)-rg(A).

In meinem Beispiel kommt aus dieser Formel 2 raus. Ist das so überhaupt richtig? Weil ich habe die Basis des Kerns mit einem Vektor, aber die Dimension soll 2 sein? hä???

Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen dem Kern der lin. Abb. und dem Kern der Matrix? (bzw. dem Bild) Oder ist damit immer das selbe gemeint?

Danke euch!

Answer 1

Ist die dim(Kernf) dann 1, weil die Basis nur einen Vektor hat? Verhält sich das genau so beim Bild?

Ja, dim ist die Anzahl der Basisvektoren.

In meinem Beispiel kommt aus dieser Formel 2 raus. Ist das so überhaupt richtig?

Weil ich habe die Basis des Kerns mit einem Vektor, aber die Dimension soll 2 sein? hä??? 

dim (Kern) = 1  ==>  dim (Bild) =  rg(A) =  dim(V) - dim(Kern) = 2

Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen dem Kern der lin. Abb. und dem Kern der Matrix?  Nein!


(bzw. dem Bild)   Ja ! 

Das Bild ist der von den Spalten von A aufgespannte Vektorraum.  Deshalb ist auch


die Summe     dim (Bild) + dim(Kern)  immer gleich der dim von V.