krümmung von f(x) berechnen

Question

Krümmung von f(x)= 1/3x^3-x^2+4 berechnen.

Ich selber habe die nullstelle x=1 rausbekommen und dann dass die Funktion linksgekrümmt ist, bin mir aber irgw Trzd nicht sicher wie genau man bei dieser Funktion hier herausfinden kann dass sie linksgekrümmt ist.

Answer 1

Hi,

Aussage über die Krümmung wird über die zweite Ableitung erreicht.

f(x) = 1/3x^3-x^2+4

f'(x) = x^2 - 2x

f''(x) = 2x - 2

Nullstellenbestimmung der zweiten Ableitung:

f''(x) = 2x - 2 = 0

x = 1

Das hattest Du schon ganz richtig gemacht.

Nun liegt für f''(x) > 0 eine Linksskrümmung vor und für f''(x) < 0 eine Rechtskrümmung.

Für x > 1 haben wir f''(x) > 0, also eine Linkskrümmung. Für x < 1 entsprechend eine Rechtskrümmung.

Grüße

Comments

Heißt das, dass es bei dieser Funktion eine links- und rechtskrümmung gibt?

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Yup. Bei jeder Funktion dritten Grades :).

Kannst Du Dir auch visualisieren. Stell Dir vor Du bist mit dem Fahrrad unterwegs. Musst Du nach rechts lenken, so hast Du eine Rechtskrümmung. Das Schaubild passt mit unserer Aussage überein :). Linkskrümmung für x > 1.

~plot~ 1/3*x^3-x^2+4; [[ -5 | 5 | -5 | 10 ]] ~plot~

Answer 2

Die Nullstelle bezieht sich wohl auf die zweite Ableitung. Kubische Parabeln haben zwei verschiedene Krümmungen, die am Wendepunkt (bei x=1) wechseln. Über die Art der Krümmung entscheidet die 2. Ableitung: für f ''(x)>0 linkskrümmung, für f ''(x)<0 rechtskrümmung.

Comments

Ja, und in diesem Fall ist ja 2x-2 die zweite Ableitung, aber wie kann man an dieser Ableitung erkennen ob es eine Links- oder Rechtskrümmung ist bzw. ob beides vorhanden ist?

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Der Ansatz 2x-2<0 führt auf  x<1 Also für x<1 ist der Graph rechtsgekrümmt.