Lösen des Integrals (Formel gesucht)

Question

ich bin derzeit dabei eine Formel bzw. einen Ansatz zu ermitteln, mit dem man Integrale der Form A1 lösen kann.

A1:

$$ \frac { { a }_{ 1 }x+b }{ { a }_{ 2 }x^{2}+{ b }_{ 2 }x+c }  $$

BSP:

$$ \frac { 7x+3 }{ 2{ x }^{ 2 }-5x+10 }  $$

Mein Ansatz liefert mir jetzt schon einen brauchbaren ersten Teil. "Leider" muss jedoch immer noch etwas händisch berechnet werden.

Mich würde einfach mal interessieren, ob es für Integrale dieses Typs schon eine Art Lösungsformel gibt (Vielleicht an die Integralexperten hier?). Mit Lösungsformel meine ich jetzt nicht die Integraltafel, sonder, die Formel, die dahinter steckt (wird glaube ich im Bild sichtbarer)

BSP:

Hier scheint schon eine Art Formel angewendet zu werden. Hier würde mich speziell interessieren, wie die Formel dahinter lautet.

Mit meinem Ansatz komme ich bis jetzt immer auf den ersten Teil aber beispielsweise nicht auf den zweiten Teil mit 4/...

Klar ist mir bekannt dass

(2x-2)/2 +4/... = x+3

Somit ergibt sich dann der zweite Teil, nur versuche ich die Allgemeine Formel dahinter zu finden.

Ich hoffe, dass ihr mir vielleicht helfen könnt bzw. versteht, was ich meine ;-)

Answer 1

Die Grundidee besteht bei solchen Integralen darin. das in 2. Teilintegrale aufzuspalten.

1. Teilintegral: der Zähler ist die Ableitung des Nenners. ->hier gibt es ein Integrationsgesetz

2. Teilintegral : Lösung über die quadratische Ergänzung.

Das Ganze ist aus meiner Sicht nicht so einfach und bedarf Übung.

Die Lösung des 2. Teilintegrales läuft in vielen Fällen auf das Arcus- tan - Integral hinaus.

Comments

"Die Lösung des 2. Teilintegrales läuft in vielen Fällen auf das Arcus- tan - Integral hinaus."

Da kann ich zustimmen! Ich habe bereits mehrere Integral dieser Art berechnet, und genau daruaf läuft es hinaus!

Answer 2

Du musst nur dafür sorgen, das die Ableitung des Nenners oben im Zähler steht. Dann ist die Integration besonders einfach.

∫ (x + 3)/(x^2 - 2·x + 10) dx

Ableitung des Nenners ist 2x - 2

Damit schreibe ich 3x als 1/2 * (2x - 2) + 4

∫ (1/2 * (2x - 2) + 4)/(x^2 - 2·x + 10) dx

= ∫ ((1/2 * (2x - 2))/(x^2 - 2·x + 10) + 4/(x^2 - 2·x + 10)) dx

= ∫ ((2x - 2)/(2·(x^2 - 2·x + 10)) + 4/(x^2 - 2·x + 10)) dx

= ∫ (2x - 2)/(2·(x^2 - 2·x + 10)) dx + ∫ 4/(x^2 - 2·x + 10) dx

Das zu Integrieren sollte jetzt etwas einfacher fallen.

Comments

"Du musst nur dafür sorgen, das die Ableitung des Nenners oben im Zähler steht." Ja genau darin besteht auch mein Ansatz.

((1/2 * (2x - 2))/(x² - 2·x + 10)  wird mir durch "die Formel" geliefert

4/(x² - 2·x + 10)) dx diesen Teil muss ich noch händisch berechnen. Da hakt meine Formel bis jetzt.Wobei man natürlich durch elementare Bruchrechnung auf diesen Term kommt. 

Mein Ansatz geht in diese Richtung:

(a1)(u')/((u'(a2)(u)) + (Hier fehlt noch was)/((u'(a2)(u))

wobei (u'(a2) quasi ein f(x) ist.

wobei dieses Hier fehlt noch was durch Bruchrechnung gelöst werden kann.

Mathecoach ich hoffe, du verstehst meinen Ansatz (quasi das gleich was du sagst nur als "Formel" ausgedrückt) 

Dieser letzte Teil der Fehlt mir leider noch, wie gesagt denh habe ich bis jetzt händisch berechnet...  

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Ich habe doch die Aufteilung oben vorgemacht wie ich es ganz ohne Formel rein händisch machen würde. Wo hakt es dort genau bei der Herleitung? Bei welcher Zeile hast du schwierigkeiten?

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Hi Mathecoach, vielleicht war das ein Missverständnis, händisch mache ich das schon genau wie du, ich war nur auf der Suche nach einer geeigneten Formel, die ich im übrigen jetzt herausgefunden habe. :-)

Aber danke dennoch

Answer 3

Die Idee ist doch wohl, die Ableitung des Nenners zu bildendamit man als 1. Summanden sowas hat wie  Integral f ' (x) / f(x)  dx

Dazu muss das "x" im Zähler allerdings passen, deshalb wurde

hier wohl noch der Faktor 1/2 eingebaut, damit dann im

2. Summanden im Zähler kein x mehr ist .