ich habe versucht meine Aufgabe zu beweisen. :P
Kann sie jemand kontrollieren? Bitte
Ist eine Funktion f : R → R an einer Stelle a ∈ R stetig, so gibt
es ein δ > 0, so dass f auf ]a−δ, a+δ[ stetig ist.
Beweisversuch: Gemäß ε-δ-Charakterisierung der Stetigkeit gibt es zu jedem ε > 0
ein δ > 0, so dass für x ∈ ]a−δ, a+δ[ gilt: |f(x)−f(a)| <ε/2
. Für x0, x ∈ ]a−δ, a+δ[
folgt per Dreiecksungleichung
|f(x)−f(x0)| ≤ |f(x)−f(a)| + |f(x0)−f(a)| <ε/2+ε/2
= ε .
Also gilt |f(x)−f(x0)| < ε bei festem x0 ∈ ]a−δ, a+δ[ fur alle x ∈ ]x0−δ0, x0+δ0[
mit einem ausreichend kleinen δ0 > 0. Wegen der Beliebigkeit von ε > 0 ist f somit an jeder Stelle x0 ∈ ]a−δ, a+δ[ stetig.
