Geben Sie eine lineare Abbildung f: R^4 -> R³ der Form f(x,y,z) = A * x an, ...

Question

..., deren Kern durch die Vektoren v₁=(3,0,4,5)^T und v₂=(1,1,0,1)^T erzeugt wird. Nutzen Sie dabei die Definition der Dimension von Bild und Kern aus.

Kann mir hier jemand weiterhelfen und mir einen kleinen "Anstoß" verpassen?

Gerade komme ich echt nicht weiter.

Vielen lieben Dank!

Answer 1

Damit die beiden im Kern sind muss gelten

A * (3,0,4,5)^T  = 0-Vektor   und  A *  (1,1,0,1)^T   = 0  - Vektor

und Rang (A) = 2 .    Also etwa  A = 

 0   -4    -5    4
 -4   4     3    0
 0     0     0    0

Comments

Hi.

Wie genau bist du auf A gekommen?

Wie sähe dann die Abbildung aus?

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Eine 0-Zeile wegen rang=2und zwei Zeilen, die beide die

beiden Vektoren aus dem Kern als Lösung

haben.

Die Abbildung ist dann  a                      a                   -4b-5c+4df(b   )    =  A   *   b      =    -4a +4b +3c
   c                     c                      0
    d                    d

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Mit welchem Gleichungssystem kommst du denn auf A? Ich kann das hier nicht nachvollziehen... 
Und auch den unteren Teil mit den c   c  und  d     d  verstehe ich nicht.
Vielen Dank und schönen Abend!

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Da sind wieder irgendwie ein paar blöde

Zeilenumbrüche reingeraten:

Eine 0-Zeile wegen rang=2und zwei Zeilen, die beide die

beiden Vektoren aus dem Kern als Lösung

haben.

Die Abbildung ist dann  

   a                     a                -4b-5c+4d
f(b   )    =  A   *   b      =    -4a +4b +3c
   c                     c                      0 
  d                      d


vielleicht so klarer:also f ( Vektor) = Matrix mal Vektor

= Vektor in IR³ .

Die Matrix hatte ich oben ja angegeben, du brauchst

in den ersten beiden Zeilen nur zwei lin. unabhängige 

Gleichungen , die durch beide Basisvektoren des Kerns

erfüllt werden.