Grenzwert Bestimmen (Aufbauende Übung)

Question

Hi.

Ich hab hier eine Aufgabe bei der ich im Teil

a) die erste binomische Formel rechnen musste (Ergebnis = x^{2 +} 2xh + h²⁾

b) dort musste ich (x+h)³ berechnen (Ergebns = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ )

und nun muss ich mithilfe dieser Lösungen die nächsten beiden Aufgaben berechnen. Verstehe aber nicht wie.

c) Gebe f(x+h) mit Hilfe von Aufgabe a & b an. Berechne damit $$ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } $$

d) Bestimme Grenzwert von $$ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } $$ für h→ 0

Ich bräuchte im besten Falle den Rechenweg damit ich das nachvollziehen kann. Vielen Dank

Answer 1

Aufgabenteil d) zeigt, dass es um den Grenzwert des sogenannten Differenzenquotienten geht. Das ist gleichzeitig die erste Ableitung. Auf welche Funktionen sich die Fagen a), b), und c) beziehen, kann man nur raten. Es geht zunächst offenbar um f(x)=x². Dann ist f(x+h)=(x+h)²= x^{2 +} 2xh + h² und (f(x+h)-f(x))/h=  (x^{2 +} 2xh + h² -x²)/h=(2xh+h2)/h=2x+h. Für h→ 0 ergibt das 2x.

Bei b) geht es offenbar um f(x)=x³. Dann ist f(x+h)= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ und (f(x+h)-f(x))/h=(x³ + 3x²h + 3xh² + h³-x³)/h= (3x²h + 3xh² + h³)/h=3x²+3xh+h². Für h→ 0 ergibt das 3x².