Zeige das EndK (V) = HomK g.d.w. F =λ Idv

Question

Hi, kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Sei V ein eindimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass F ∈ End_K (V) = Hom_K (V,V) ist genau dann, wenn es ein λ ∈ K gibt, so dass F =λ Id_v ist.

Answer 1

Sei V ein eindimensionaler K-Vektorraum. 

Beh.:

F ∈ End_K (V) = Hom_K (V,V)       <==>  Es gibt  ein λ ∈ K , so dass F =λ Id_v ist.

<=  ist ja klar :   λ Id_v  ist ein Endomorphismus jedes Vektorraumes.

=>  Sei also   F ∈ End_K (V)  . Wegen dim=1 gibt es eine Basis B  von

V mit einem Element, also etwa    B = { w } .

Dann ist F(w) aus V, also gibt es ein λ ∈ K mit  F(w) = λ * w

Dann gilt für alle v aus V  : es gibt ein x aus K mit  v = x*w.

Also für alle v aus V gilt

F(v) = F(x*w) = x * F(w) = x* ( λ * w ) = λ *x* w = λ * v.

==>  F = λ Id_v .      q.e.d.