2^ (x-(1/4))=sqrt(e^{x^2})

Question

Finde alle reellen Lösungen:

2^{x-1/4}=sqrt(e^{x^2})

exp((x-1/4)ln2)=e^{((x^2)/2)}

(x-1/4)ln2 = x^2/2

2*(x-1/4)*ln2 = x^2

...bin mir nicht sicher, ob ich so zu einer Lösung komme...?

Answer 1

Doch, jetzt weiter mit pq-Formel

2*(x-1/4)*ln2 = x²

x² -2ln(2)*x - 0,5ln(2)=0 

Answer 2

hi5222,

Du bist der richtigen Lösung schon ziemlich nahe. Dein aktueller Stand ist: $$2\cdot\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\ln{2}=x^2$$ Nun kannst Du diese Gleichung wie folgt umformen: $$\Longleftrightarrow 2\cdot \ln{2} \cdot x-2\cdot\dfrac{1}{4}\cdot \ln{2}=x^2$$ $$\Longleftrightarrow \underbrace{2\cdot\ln{2}}_{\approx 1.386}\cdot x-\underbrace{\dfrac{1}{2}\cdot\ln{2}}_{\approx 0.347}=x^2$$ $$\Longleftrightarrow x^2-1.386x+0.347=0$$ Darauf kannst Du nun die p-q-Formel anwenden: $$x_{1,2}=-\dfrac{(-1.386)}{2}\pm\sqrt{\dfrac{((-1.386)^2}{4}-0.347}$$ $$x_1\approx 1.058$$ $$x_2\approx 0.328$$ Beachte bitte, dass die Ergebnisse grob gerundet sind. Die exakten Ergebnisse erhältst Du, wenn Du die exakten Werte durchziehst und am Ende verrechnest.

Ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte!

und gute Nacht!

André, savest8

Comments

An die Anwendung der pq-Formel mit ln hab ich nicht gedacht..

Moechte die Gleichung ohne TR loesen. Aber glaube da steckt noch immer ein Fehler drin.
(Bin noch nicht so bewandert im Umgang mit ln...)

2^x-1/4 = √e^{x^2}

(x-1/4)ln(2) = x²/2

x² - 2ln(2)x + 1/2ln(2) = 0

x_1,2=  (2ln(2))/2 ± √( (-2ln(2)/2)² - 0.5ln(2) )

x_1,2= ln(2) ± √( (-ln(2))² - 0.5ln(2) )

Kann ich die Wurzel hier noch weiter aufloesen? Habs probiert aber falsche Ergebnisse bekommen.

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hi5222,

ich sehe hier ehrlich gesagt keinen Grund für weitere Umformungen (zumindest im Kontext Deiner Aufgabenstellung). Du könntest noch die Wurzeln auseinander ziehen, doch auch dann wirst Du nicht viel weiterkommen.

$$\sqrt{(\ln{2})^2-0.5\cdot\ln{2}} =\sqrt{\ln{2}\cdot(\ln{2}-0.5)} =\sqrt{\ln{2}}\cdot\sqrt{\ln{2}-0.5}$$

Den Rest würde ich tatsächlich den Taschenrechner ausrechnen lassen. Sollt ihr denn weiter umformen? Wenn ja, dann melde Dich gerne erneut. Ansonsten hoffe ich, dass Dir meine Antwort weiterhilft!

André, savest8

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Ok. Ich denke ich kann das dann auch wie in meiner Lösung lassen. Mein Blick ist noch etwas ungeübt bzgl Sinnhaftigkeit oder Sinnfreiheit von weiterem Auflösen in solchen Fällen. Deswegen ist die Rückmeldung eines geübten Auges hilfreich.