Ableitung einer Funktion mit Differenzenquotienten bestimmen? f(x) = x^2 für x0 = 2.

Question

die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle X0 = 2 mithilfe des Differenzenquotieten für kleine Werte von h.

a) f(x) = x^2

Kann mir bitte jemand die Rechnung zeigen, wie man vorgehen muss?

Answer 1

P ( x | y )
P1 ( x + h | f ( x +h )  )
P2 ( x | f ( x ) )

Δy / Δx = [ f ( x + h ) - f ( x ) ]  /  ( x + h - x )
[ ( x + h)^2 - x^2 ] / h
( x^2 + 2hx + h^2 - x^2 ) / h

( 2hx + h^2 ) / h
h * ( 2x + h ) / h
2 * x + h

x0 = 2
2 * 2 + h = 4

Je kleiner h wird desto mehr nähert sich
( x^2 ) ´ = 2 * x
( 2^2 ) ´ = 4

Answer 2

Betrachte 

(f(xo+h) - f(xo) )  / h    für xo = 2


= ((2+h)2 - 4 ) / h


=   ( 4 + 4h + h² - 4 ) / h

=    (  4h + h² ) / h


=  h*(4+h) / h    durch h kürzen gibt


=  4+h 


Und wenn h eine  kleine pos. Zahl ist,

dann ist das ungefähr gleich 4.

Comments

ich verstehe leider nicht deinen ersten und zweiten Schritt.

= ((2+h)2 - 4 ) / h   (Warum -4 ?)

=   ( 4 + 4h + h² - 4 ) / h   (Wurde hier mit dem 3. Binom gerechnet ?)

Ich wäre sehr dankbar, wenn du oder jemand anderes mir das erklären könnte.

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ich verstehe leider nicht deinen ersten und zweiten Schritt.

= ((2+h)² - 4 ) / h   (Warum -4 ?)

Weil f(xo)=4 ist

=   ( 4 + 4h + h² - 4 ) / h  

weil (2+h)² = 4 + 4h + h² 

Meistens nennt man das: 1. binomische Formel.

siehe https://www.matheretter.de/wiki/binomische-formeln#erste