Wie kann ich dieses Integral bestimmen?

Question

,

und wie immer brauche ich eure Hilfe.

Folgende Aufgabe:

$$ Bestimmen\quad Sie\quad folgendes\quad Integral:\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { (1+x^{ 2 }) }^{ 2 } }  dx}  $$

Ich weiss jetzt nicht genau was ich tun soll.

Partialbruchzerlegung kann ich nicht machen weil der Nenner keine Nullstellen hat.

Ich denke mal ich muss irgendwie Partielle Integration machen. Allerdings weiss ich nicht wie ich da anfangen muss.

Habt ihr einen Tipp?

Lieben Gruß

Answer 1

die Substitution

z=1 +x^2 führt Dich ans Ziel.

Comments

wieso gerade 1+x²?

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Weil sich das x dann kürzt.(Zähler +Nenner)

z=1 +x^2

dz/dx=2x

dx=dz/(2x)

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$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } } \quad  }  $$

$$ z=1+{ x }^{ 2 } $$

$$ \frac { dz }{ dx } =2x $$

$$ dx=\frac { dz }{ 2x }  $$

$$ =>\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { z }^{ 2 } } *\frac { dz }{ 2x }  }  $$

Wie geht es jetzt weiter?

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kürze im Integral durch x  und ziehe den Faktor 1/2 vor das Integral

die x-Grenzen müssen durch u-Grenzen ersetzt werden

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$$ z=1+{ x }^{ 2 }\quad =>\quad \frac { dz }{ dx } =2x\quad =>\quad dx=\frac { dz }{ 2x } \quad =>\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { z }^{ 2 } } *\frac { dz }{ 2x }  }  $$

Wie geht es jetzt weiter? Bitte genau erklären, ich mache das zum 1. Mal.

:)

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Okay, ich habe jetzt:

$$ \frac { 1 }{ 2 } *\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { dz }{ { z }^{ 2 } }  } $$

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Vergleiche meine Antwort   5. Zeile,  [ ... ]

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Du musst noch die Grenzen des Integrals ändern. 0 und 1 sind ja die Grenzen von x und nicht von z. Schau mal bei der Antwort von Wolfgang, er hat eine vollständige Lösung. 

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Okay, aber wie kommst du auf die neuen Grenzen?

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x₁ = 0  →  u₁ = 0² + 1 = 1

x₂ = 2  →  u₂ = 1² + 1 = 2    

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Sorry, ich kann nicht folgen :(

Answer 2

substituierte z=1+x^2,

dz/dx=2x

dx=dz/(2x)

Die Ableitung ist natürlich 2x :')

Comments

es muss wohl  dz/dx = 2x heißen

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Danke, habs noch andern können.

Answer 3

Substitution u = x² + 1  →   du/dx = 2x   →   dx = 1/(2x) * du

Einsetzen:

₀∫¹  x / (x² + 1)² dx   =  ₁∫²  x / u² * 1/(2x) * du    [  u-Grenzen  u₁ = 0²+1 = 1 , u₂ = 2 ]

Kürzen, 1/2 vor das Integral ziehen:

  = 1/2 * ₁∫²  1 /u²  * du         [  ∫ 1/u² du  = ∫ u^-2 du  =  -1 * u^-1  (+ c) ]

  =  1/2 * [ -1 / u ]₁²  =  1/2 * ( -1/2 - (-1/1))  = 1/4  

Gruß Wolfgang